単スリットのフラウンホーファー回折

開口内の波を足し合わせて単スリット回折の強度 $I = I_{0} (\frac{sin β}{β})^{2}$ （ $β = \frac{π a sin θ}{λ}$ ）を求め、暗線の方向や中央の山の幅を求められる

前提

基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
ホイヘンスの原理と反射・屈折・回折（高校物理波動（知識））
2 光波の干渉と強度分布（大学物理光学）

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算数中学高校大学大学院

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多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
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ホイヘンスの原理と反射・屈折・回折（高校物理波動（知識））
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増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
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無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
2 光波の干渉と強度分布（大学物理光学）

説明

幅 $a$ のスリットに平行光を当てたとき、遠くのスクリーン（またはレンズの焦点面）にできる回折像の強度が、方向 $θ$ の関数として $I = I_{0} (\frac{sin β}{β})^{2}$ （ $β = \frac{π a sin θ}{λ}$ ）になることを、スリット内の各点から出る波を足し合わせて導き、使えるようになります。これを使うと、暗線の方向 $a sin θ = mλ$ （ $m = \pm 1, \pm 2, \dots$ ）や、中央の明るい山の幅を求められます。顕微鏡や望遠鏡の分解能、分光器のスリット幅の決め方などの基礎になる考え方です。

なぜそうしてよいのか

ホイヘンスの原理により、スリットの開口の各点は同じ位相の素元波を出す波源とみなせます。スリットの中心を原点に、幅の方向に座標 $y$ （ $- \frac{a}{2} \leq y \leq \frac{a}{2}$ ）をとります。十分遠くで方向 $θ$ に進む光を考えると（フラウンホーファー回折）、位置 $y$ から出た光は中心から出た光より道のりが $y sin θ$ だけ短く、位相が $k y sin θ$ （ $k = \frac{2 π}{λ}$ ）だけ進みます。各点からの波の振幅は等しく、幅 $d y$ あたり $c d y$ とすると、方向 $θ$ の合成波は
$\int_{- a /2}^{a /2} c cos (ω t + k y sin θ) d y = c cos ω t \int_{- a /2}^{a /2} cos (k y sin θ) d y - c sin ω t \int_{- a /2}^{a /2} sin (k y sin θ) d y$
です（加法定理）。2 つ目の積分は奇関数を対称な区間で積分するので 0、1 つ目は $sin θ \neq = 0$ のとき
$\int_{- a /2}^{a /2} cos (k y sin θ) d y = \frac{2}{k sin θ} sin \frac{k a sin θ}{2} = a \frac{sin β}{β}, β = \frac{k a sin θ}{2} = \frac{π a sin θ}{λ}$
となります。 $θ = 0$ （ $β = 0$ ）では積分はそのまま $a$ で、 $β \to 0 lim \frac{sin β}{β} = 1$ なので同じ式が連続につながります。

合成波の振幅は $c a \frac{sin β}{β}$ で、強度は振幅の 2 乗に比例するので
$I = I_{0} (\frac{sin β}{β})^{2} (I_{0} は θ = 0 の強度)$
です。暗線（ $I = 0$ ）は $sin β = 0$ かつ $β \neq = 0$ 、つまり $β = mπ$ （ $m = \pm 1, \pm 2, \dots$ ）、すなわち $a sin θ = mλ$ の方向にできます。直観的には、 $a sin θ = λ$ のときスリットを上半分と下半分に分けると、上半分の各点と、そこから $\frac{a}{2}$ 下の点との経路差がちょうど $\frac{λ}{2}$ になり、ペアごとに打ち消し合うからです。中央の山は $m = \pm 1$ の暗線にはさまれた $- \frac{λ}{a} < sin θ < \frac{λ}{a}$ の範囲で、スリットが狭いほど広がります。

手順

方向 $θ$ について $β = \frac{π a sin θ}{λ}$ を計算する
強度を $I = I_{0} (\frac{sin β}{β})^{2}$ （ $β = 0$ のときは $I = I_{0}$ ）で求める
暗線の方向は $a sin θ = mλ$ （ $m = \pm 1, \pm 2, \dots$ 。 $m = 0$ は中央の最も明るい方向なので除く）で求める
スクリーン上の位置に直すときは、スリットからスクリーンまでの距離 $L$ を使って $x = L tan θ$ 、角度が小さければ $x \approx L θ \approx L sin θ$ とする。中央の山の幅（ $m = \pm 1$ の暗線の間隔）は $\frac{2 L λ}{a}$

例題

幅 $a = 0.10 mm$ のスリットに、波長 $λ = 500 nm$ の平行光を垂直に当て、スリットから $L = 2.0 m$ 離れたスクリーン上に回折像をつくった。スクリーン上の中央の明るい山の幅（中央の両側にある最初の暗線どうしの間隔）を mm 単位で求めよ。ただし、角度 $θ$ が小さいので $sin θ \approx tan θ \approx θ$ と近似してよく、フラウンホーファー回折とみなしてよい。

例題の解答

手順 1・2: 強度は $I = I_{0} (\frac{sin β}{β})^{2}$ 、 $β = \frac{π a sin θ}{λ}$ である。

手順 3: 中央の両側の最初の暗線は $m = \pm 1$ 、つまり $a sin θ = \pm λ$ の方向で、
$sin θ = \pm \frac{λ}{a} = \pm \frac{500 \times 1 0 ^{- 9}}{0.10 \times 1 0 ^{- 3}} = \pm 5.0 \times 1 0^{- 3}$

手順 4: スクリーン上の位置は $x \approx L θ \approx L sin θ = \pm 2.0 \times 5.0 \times 1 0^{- 3} = \pm 1.0 \times 1 0^{- 2} m$ 。よって中央の山の幅は
$\frac{2 L λ}{a} = 2.0 \times 1 0^{- 2} m = 20 mm$

答え: $20$

よくある誤り

ヤングの実験の明線の条件と混同して、単スリットの暗線を $a sin θ = (m + \frac{1}{2}) λ$ としてしまう誤り。正しくは $β = mπ$ から $a sin θ = mλ$ （ $m = \pm 1, \pm 2, \dots$ ）が暗線
$m = 0$ も暗線に含めてしまう誤り。 $β = 0$ では $\frac{sin β}{β} \to 1$ なので $I = I_{0}$ で最も明るく、暗線は $m \neq = 0$ のときだけ
中央の山の幅を $\frac{L λ}{a}$ としてしまう誤り。 $\frac{L λ}{a}$ は中心から最初の暗線までの距離で、中央の山の幅は両側の暗線の間隔なので正しくは $\frac{2 L λ}{a}$ （ほかの山の幅 $\frac{L λ}{a}$ の 2 倍）
$β$ を $\frac{2 π a sin θ}{λ}$ としてしまう誤り。スリットの両端の位相差は $k a sin θ = \frac{2 π a sin θ}{λ}$ だが、 $β$ はその半分で、正しくは $β = \frac{π a sin θ}{λ}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
幅 $a = 3.0 μ m$ の単スリットに、波長 $λ = 600 nm$ の単色の平面波が垂直に入射し、十分遠方（フラウンホーファー回折の条件が成り立つ位置）で回折光を観測する。回折角 $θ$ の方向の強度は
$I = I_{0} (\frac{sin β}{β})^{2}, β = \frac{π a sin θ}{λ}$
で表される（ $I_{0}$ は $θ = 0$ の方向の強度）。 $sin θ = 0.10$ の方向の強度 $I$ と $I_{0}$ の比 $\frac{I}{I _{0}}$ を求めよ。答えは $π$ を含む正確な値で答えよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

多スリット回折と欠落次数（大学物理光学）