分解能とレイリーの基準

レイリーの基準を使い、回折格子の分解能 $λ /Δ λ = m N$ や円形開口の最小分解角 $θ \approx 1.22 λ / D$ から、分解に必要な本数・口径などを求められる

前提

多スリット回折と欠落次数（大学物理光学）

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算数中学高校大学大学院

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多スリット回折と欠落次数（大学物理光学）

説明

回折で像や明線には必ず幅ができるので、波長がわずかに違う 2 本の線や、角度がわずかに違う 2 つの点光源は、近すぎると 1 つに重なって見分けられません。「どこまで近くても 2 つと見分けられるか」の目安がレイリーの基準で、これを使うと回折格子の分解能 $\frac{λ}{Δ λ} = m N$ や、円形のレンズ・望遠鏡の最小分解角 $θ \approx 1.22 \frac{λ}{D}$ が得られます。分光器で 2 本のスペクトル線を分けるのに必要な格子の本数や、2 つの星を見分けるのに必要な望遠鏡の口径を見積もるときに使います。

なぜそうしてよいのか

レイリーの基準は「一方の山の頂上が、もう一方の山のすぐ隣の暗線（強度 $0$ の点）にちょうど重なるとき、2 つはぎりぎり分解できる」とする約束です。これより近いと 2 つの山の和の中央のくぼみがほとんどなくなり、1 つの山に見えてしまいます。

回折格子（スリット $N$ 本、間隔 $d$ ）に当てはめます。強度の因子 $(\frac{sin N γ}{sin γ})^{2}$ （ $γ = \frac{π d sin θ}{λ}$ ）は、 $m$ 次の主極大 $γ = mπ$ の両側で、 $N γ = N mπ \pm π$ のとき初めて $0$ になります（ここで $sin N γ = 0$ だが $sin γ \neq = 0$ ）。つまり波長 $λ$ の $m$ 次の山のすぐ隣の暗線は
$d sin θ = mλ + \frac{λ}{N}$
の方向にあります。一方、波長 $λ + Δ λ$ の $m$ 次の山は $d sin θ = m (λ + Δ λ)$ の方向です。この 2 つが一致する条件 $m Δ λ = \frac{λ}{N}$ がぎりぎり分解できる限界で、
$\frac{λ}{Δ λ} = m N$
となります。この値を分解能と呼び、 $\frac{λ}{Δ λ} \leq m N$ （ $Δ λ \geq \frac{λ}{m N}$ ）なら分解できます。格子間隔 $d$ は式に残らず、照らされている本数 $N$ と次数 $m$ だけで決まるのがポイントです（ただし $m$ は $∣ m ∣ < \frac{d}{λ}$ で実際に観測できる次数に限られます）。

直径 $D$ の円形開口（レンズ・望遠鏡）でも考え方は同じで、点光源の像は中央の明るい円板とそれを囲む輪になり、最初の暗い輪は光軸から角 $θ_{1}$ （ $sin θ_{1} \approx 1.22 \frac{λ}{D}$ ）の方向にあります。幅 $a$ の単スリットの最初の暗線 $sin θ = \frac{λ}{a}$ に似ていますが、開口が円形なので係数が $1.22$ になります（この係数は円形開口での波の足し合わせの積分から出る値で、ここでは結果として使います）。小さい角では $sin θ \approx θ$ なので、レイリーの基準から 2 点光源を見分けられる最小の角度（最小分解角）は $θ \approx 1.22 \frac{λ}{D}$ （弧度法）です。

手順

何を分解したいかを決める: 波長の近い 2 本の線なら回折格子の式、角度の近い 2 つの点光源なら円形開口の式を使う。
回折格子では、必要な分解能 $\frac{λ}{Δ λ}$ を計算する（ $Δ λ$ は 2 つの波長の差）。
分解できる条件 $m N \geq \frac{λ}{Δ λ}$ に次数 $m$ を入れ、 $N \geq \frac{λ}{m Δ λ}$ から必要な本数を求める。本数は整数なので切り上げる。
円形開口では、最小分解角 $θ_{m i n} \approx 1.22 \frac{λ}{D}$ を使う。見分けたい 2 点の角度の差 $θ$ に対して $θ \geq 1.22 \frac{λ}{D}$ 、すなわち $D \geq 1.22 \frac{λ}{θ}$ から必要な口径を求める。
角度は弧度法で扱い、距離 $L$ 離れた間隔 $s$ の 2 点なら $θ \approx \frac{s}{L}$ とする。単位（nm と m など）をそろえてから計算する。

例題

ナトリウムの D 線は波長 $589.0 nm$ と $589.6 nm$ の 2 本からなる。回折格子の 2 次の明線でこの 2 本をレイリーの基準で分解するために、光が当たっているスリットの本数 $N$ は最小でいくつ必要か求めよ。ただし分解の条件は $\frac{λ}{Δ λ} \leq m N$ （ $m$ は次数）とし、 $λ$ には $589.0 nm$ を用いよ。

例題の解答

【手順 1】波長の近い 2 本の線を分けるので、回折格子の分解能の式を使う。

【手順 2】 $Δ λ = 589.6 - 589.0 = 0.6 nm$ 。必要な分解能は
$\frac{λ}{Δ λ} = \frac{589.0}{0.6} = 981.66 \dots$

【手順 3】 $m = 2$ なので $2 N \geq 981.66 \dots$ 、 $N \geq 490.83 \dots$ 。 $N$ は整数なので切り上げて、最小で $N = 491$ 。

答え: $491$

よくある誤り

分解能を $\frac{λ}{Δ λ} = \frac{N}{m}$ や $N$ だけと覚えてしまう誤り。隣の暗線までのずれ $\frac{λ}{N}$ が、 $m$ 次では波長のずれの $m$ 倍 $m Δ λ$ と比べられるので、正しくは $\frac{λ}{Δ λ} = m N$ 。次数が高いほど分解しやすい。
分解能に格子間隔 $d$ や格子全体の幅が直接入ると考え、 $d$ を細かくするだけで分解能が上がるとしてしまう誤り。式 $\frac{λ}{Δ λ} = m N$ に $d$ は入らない。ただし $d$ は観測できる次数の上限 $∣ m ∣ < \frac{d}{λ}$ を決めるので、使う $m$ が実際に見えるかは確認する。
必要な本数を四捨五入や切り捨てで求めてしまう誤り。 $N \geq 490.83 \dots$ なら $N = 490$ では足りないので、条件を満たす最小の整数 $491$ に切り上げる。
円形開口の最小分解角で $1.22$ を落として $θ = \frac{λ}{D}$ としたり、 $D$ に半径を入れたりする誤り。正しくは直径 $D$ を使い $θ \approx 1.22 \frac{λ}{D}$ （弧度法）。度で与えられた角度は弧度に直してから比べる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
波長 $600.0 nm$ と $600.2 nm$ の 2 本のスペクトル線を、回折格子の 2 次の回折光（ $m = 2$ ）で分けて観測したい。レイリーの基準で 2 本の線が分解されるための条件を
$\frac{λ}{Δ λ} \leq m N$
（ $λ = 600.0 nm$ 、 $Δ λ$ は 2 本の線の波長の差、 $N$ は光が当たっている格子の本数）とする。2 本の線を分解するのに必要な格子の本数 $N$ の最小値を求めよ。

分解能とレイリーの基準

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