光学の問題

曲率半径 $R=1.00\text{m}$ の平凸レンズの凸面を、平らなガラス板の上に置く。レンズと板は中心の 1 点で接している。レンズと板のすき間を、屈折率 $n$ の透明な液体で満たす。レンズとガラス板はどちらも屈折率 $1.65$ のガラスでできていて、$1<n<1.65$ とする。

真上から真空中の波長 $\lambda =550\text{nm}$ の単色光を垂直に入射させ、反射光でニュートンリングを観察する。中心の暗点は数えず、中心から外側へ数えて 10 番目の暗環の半径を測ると、$r_{10}=2.03\text{mm}$ であった。

この液体の屈折率 $n$ を有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、光はほぼ垂直に入射・反射するとみなす。すき間の厚さ $t$ は中心からの距離 $r$ の点で $t\approx \frac{r^2}{2R}$ と近似してよい（$r\ll R$）。屈折率の小さい媒質から大きい媒質へ向かう光が境界で反射するときだけ、位相が $\pi$ ずれるものとする。

空気（屈折率 $1$ とみなす）中に置いたマイケルソン干渉計に、ナトリウムランプの光を入れる。この光は、真空中の波長 ${\lambda }_1=589.0\text{nm}$ と ${\lambda }_2=589.6\text{nm}$ の 2 本のスペクトル線だけからなるとする。2 本の線の強度は等しく、それぞれの線の幅は無視できる。また、2 本の線は互いにインコヒーレントである。光は 2 枚の鏡に垂直に入射し、ビームスプリッターによる光路差は補償板で打ち消されている。

一方の鏡（可動鏡）を光軸に沿ってゆっくり動かすと、観測点での干渉縞の鮮明度（ビジビリティ）が周期的に変化した。鮮明度が最小になる可動鏡の位置から、次に鮮明度が最小になる位置まで、可動鏡を動かす距離は何 mm か。有効数字 3 桁で求めよ。

屈折率 $n=1.50$ の十分長いガラス棒の一端が、半径 $R=2.0\text{cm}$ の凸の球面（曲率中心はガラスの内部にある）に磨かれている。棒の中心軸を光軸とし、空気（屈折率 $1$）中で、球面の頂点から光軸上を外側へ $8.0\text{cm}$ 離れた位置に小さな点光源を置く。球面での屈折によって、ガラスの内部に像ができる。球面の頂点から像までの距離を $\text{cm}$ 単位で求めよ。ただし近軸近似を用い、棒のもう一方の端は考えなくてよい。

屈折率 $1$ の空気中から、屈折率 $n=\sqrt{2}$ の一様で等方的な透明媒質（吸収なし、透磁率は真空と同じ）の平らな表面に、偏光していない（自然光の）単色平面波を入射角 ${\theta }_i=\frac{\pi }{4}$ で入射させる。

反射光の強度のうち、s 偏光成分（電場が入射面に垂直）の強度を $I_s$、p 偏光成分（電場が入射面内）の強度を $I_p$ とし、反射光の偏光度を
$$P=\frac{I_s-I_p}{I_s+I_p}$$
で定義する。$P$ の値を求めよ。ただし、自然光は s 偏光成分と p 偏光成分を等しい強度で含み、両者は互いにインコヒーレントであるとする。

一軸性結晶の平行平板を、光学軸が板の面に平行になるように切り出して、真空中の波長 $\lambda =630\text{nm}$ の単色光に対する $\frac{1}{4}$ 波長板を作りたい。この波長での常光線の屈折率を $n_o$、異常光線の屈折率を $n_e$ とし、$n_e-n_o=9.00\times 10^{-3}$ とする。光を板の面に垂直に入射させるとき、板を通過した常光線と異常光線（光学軸に垂直・平行に振動する成分）の位相差がちょうど $\frac{\pi }{2}$ になるような板の厚さのうち、最小のものを $\mu \text{m}$ 単位で求めよ。ただし、板の表面での反射は無視する。