光学の問題

空気（屈折率 $n_1=1.0$）中に、屈折率 $n_2=1.5$ の十分長いガラス棒が置かれている。ガラス棒の左端は、曲率半径 $5.0\text{cm}$ の凸の球面（曲率中心がガラスの内側にある）に磨かれている。この球面の頂点から左に $30\text{cm}$ 離れた光軸上に点光源を置く。近軸近似のもとで、球面での屈折の式
$$\frac{n_1}{s}+\frac{n_2}{s^{\prime }}=\frac{n_2-n_1}{R}$$
を使う。ここで $s$ は頂点から物体までの距離（物体が球面の左側にあるとき正）、$s^{\prime }$ は頂点から像までの距離（像が球面の右側、つまりガラスの中にあるとき正）、$R$ は曲率半径（曲率中心が球面の右側にあるとき正）とする。ガラスの中にできる像の位置は、球面の頂点から何 cm 右か。

空気（屈折率 $1$）中で、焦点距離 $f_1=10\text{cm}$ の薄い凸レンズ $L_1$ と、焦点距離 $f_2=-20\text{cm}$ の薄い凹レンズ $L_2$ を同じ光軸上に置き、$L_2$ を $L_1$ の後方（光の進む側）$10\text{cm}$ の位置に置いた。$L_1$ の前方 $30\text{cm}$ の光軸上に、光軸に垂直に小さな物体を置く。光が $L_1$、$L_2$ の順に通ってできる最終的な像の横倍率（像の高さ $/$ 物体の高さ。倒立像なら負とする）を求めよ。ただし近軸近似を用いる。

空気（屈折率 $1$）中で、焦点距離 $f_1=20\text{cm}$ の薄い凸レンズ $L_1$ と、焦点距離 $f_2=-10\text{cm}$ の薄い凹レンズ $L_2$ を、同じ光軸上に間隔 $d=15\text{cm}$ で置き、光が $L_1$、$L_2$ の順に通るようにした（望遠レンズの構成）。近軸近似のもとで、この 2 枚のレンズからなる系全体の有効焦点距離 $f$ を $\text{cm}$ 単位で求めよ。光線行列（ABCD 行列）を用いて求めてよい。

空気（屈折率 $1$）中に、屈折率 $n=1.5$ のガラスでできた厚い両凸レンズが置かれている。光は左から右へ進む。第1面（左側の面）の曲率半径は $R_1=+6\text{cm}$、第2面（右側の面）の曲率半径は $R_2=-12\text{cm}$ である。曲率半径の符号は、曲率中心が面の頂点より右側にあるとき正とする。光軸上の頂点間の距離（レンズの厚さ）は $d=3\text{cm}$ である。

第1面の頂点から左へ $30\text{cm}$ の位置に、光軸に垂直な小さな物体を置いた。近軸近似が成り立つものとし、光線を列ベクトル $\left(\begin{array}{c}y\\ n\theta \end{array}\right)$（$y$ は光軸からの高さ、$\theta$ は光軸となす角、$n$ はその場所の屈折率）で表す光線行列（ABCD 行列）の方法を用いる。このとき、レンズによってできる像の位置は、第2面の頂点から右へ何 cm のところか。既約分数で答えよ。

夜間、黒い板の上に、間隔 $\Delta x=2.0\text{mm}$ で 2 個の小さな緑色 LED（点光源とみなす）が並んでいる。LED はどちらも真空中の波長 $\lambda =5.0\times 10^2\text{nm}$ の単色光を出し、互いにインコヒーレントである。この 2 つの点光源を、瞳孔の直径が $D=3.0\text{mm}$ の目で、板に垂直な方向から見る。

目の分解能は瞳孔（空気中に置かれた直径 $D$ の円形開口とみなす）による回折だけで決まるものとし、レイリーの判定条件、すなわち 2 点光源を見込む角が
$${\theta }_{\min }=1.22\frac{\lambda }{D}$$
のときに 2 点がちょうど分解できるものとする。空気の屈折率は $1$ とし、角は十分小さいので $\tan \theta \approx \theta$ と近似してよい。目の網膜の構造による制限や眼球内部の屈折率の影響は考えない。

2 つの LED を 2 点として見分けられる、目から板までの距離の最大値 $L_{\max }$ は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。