光学の問題

空気（屈折率 $1$）中で、焦点距離 $f_1=20\text{cm}$ の薄い凸レンズ $L_1$ と、焦点距離 $f_2=-10\text{cm}$ の薄い凹レンズ $L_2$ を、同じ光軸上に間隔 $d=15\text{cm}$ で置き、光が $L_1$、$L_2$ の順に通るようにした（望遠レンズの構成）。近軸近似のもとで、この 2 枚のレンズからなる系全体の有効焦点距離 $f$ を $\text{cm}$ 単位で求めよ。光線行列（ABCD 行列）を用いて求めてよい。

空気中（屈折率 $1$）で、焦点距離 $f_1=20\mathrm{cm}$ の薄い凸レンズ ${\mathrm{L}}_1$ と、焦点距離 $f_2=-10\mathrm{cm}$ の薄い凹レンズ ${\mathrm{L}}_2$ を、共通の光軸上に間隔 $d=15\mathrm{cm}$ で置く。光は ${\mathrm{L}}_1$ の側から入射する。近軸光線近似が成り立つものとする。

このレンズ系全体の（後側）合成焦点距離は何 $\mathrm{cm}$ か。ただし合成焦点距離は、光線行列（ABCD 行列）を
$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$$
としたとき $f=-\frac{1}{C}$ で定め、光線の状態は（光軸からの高さ $y$、光軸となす角 $\theta$）の列ベクトルで表すものとする。

屈折率 $n=1.50$ の十分長いガラス棒の一端が、半径 $R=2.0\text{cm}$ の凸の球面（曲率中心はガラスの内部にある）に磨かれている。棒の中心軸を光軸とし、空気（屈折率 $1$）中で、球面の頂点から光軸上を外側へ $8.0\text{cm}$ 離れた位置に小さな点光源を置く。球面での屈折によって、ガラスの内部に像ができる。球面の頂点から像までの距離を $\text{cm}$ 単位で求めよ。ただし近軸近似を用い、棒のもう一方の端は考えなくてよい。

空気（屈折率 $1$）中に、屈折率 $n=1.5$ のガラスでできた厚い両凸レンズが置かれている。光は左から右へ進む。第1面（左側の面）の曲率半径は $R_1=+6\text{cm}$、第2面（右側の面）の曲率半径は $R_2=-12\text{cm}$ である。曲率半径の符号は、曲率中心が面の頂点より右側にあるとき正とする。光軸上の頂点間の距離（レンズの厚さ）は $d=3\text{cm}$ である。

第1面の頂点から左へ $30\text{cm}$ の位置に、光軸に垂直な小さな物体を置いた。近軸近似が成り立つものとし、光線を列ベクトル $\left(\begin{array}{c}y\\ n\theta \end{array}\right)$（$y$ は光軸からの高さ、$\theta$ は光軸となす角、$n$ はその場所の屈折率）で表す光線行列（ABCD 行列）の方法を用いる。このとき、レンズによってできる像の位置は、第2面の頂点から右へ何 cm のところか。既約分数で答えよ。

空気（屈折率 $1$）中で、光軸上に薄いレンズを等間隔 $d(d>0)$ で無限に並べたレンズ列（レンズ導波路）を考える。レンズを光軸上の位置 $z=0,d,2d,3d,\dots$ に置き、$z=0$ のレンズから順に $L_0,L_1,L_2,\dots$ とよぶ。$L_0,L_2,L_4,\dots$（偶数番目）は焦点距離 $f$ の凸レンズ、$L_1,L_3,L_5,\dots$（奇数番目）は焦点距離 $-f$ の凹レンズである（$f>0$）。光線は近軸光線とし、光線の状態を光軸からの高さ $y$ と光軸に対する傾き $\theta$ の組 $(y,\theta )$ で表す。レンズは厚さを無視できる理想的な薄いレンズとし、収差は考えない。

$L_0$ の直前（$z=0$ の入射側）で $(y,\theta )$ の状態にあった光線が、16 枚のレンズ $L_0,L_1,\dots ,L_{15}$ を通過して $L_{16}$ の直前（$z=16d$ の入射側）に達したとき、その状態がもとの $(y,\theta )$ と一致したとする。これがどのような $(y,\theta )$ の光線についても成り立つような間隔 $d$ のうち、最小のものを $f$ を用いて表せ。