光学の問題

空気中（屈折率 $1$）で、焦点距離 $f_1=20\mathrm{cm}$ の薄い凸レンズ ${\mathrm{L}}_1$ と、焦点距離 $f_2=-10\mathrm{cm}$ の薄い凹レンズ ${\mathrm{L}}_2$ を、共通の光軸上に間隔 $d=15\mathrm{cm}$ で置く。光は ${\mathrm{L}}_1$ の側から入射する。近軸光線近似が成り立つものとする。

このレンズ系全体の（後側）合成焦点距離は何 $\mathrm{cm}$ か。ただし合成焦点距離は、光線行列（ABCD 行列）を
$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$$
としたとき $f=-\frac{1}{C}$ で定め、光線の状態は（光軸からの高さ $y$、光軸となす角 $\theta$）の列ベクトルで表すものとする。

空気（屈折率 $1$）中で、光軸上に薄いレンズを等間隔 $d(d>0)$ で無限に並べたレンズ列（レンズ導波路）を考える。レンズを光軸上の位置 $z=0,d,2d,3d,\dots$ に置き、$z=0$ のレンズから順に $L_0,L_1,L_2,\dots$ とよぶ。$L_0,L_2,L_4,\dots$（偶数番目）は焦点距離 $f$ の凸レンズ、$L_1,L_3,L_5,\dots$（奇数番目）は焦点距離 $-f$ の凹レンズである（$f>0$）。光線は近軸光線とし、光線の状態を光軸からの高さ $y$ と光軸に対する傾き $\theta$ の組 $(y,\theta )$ で表す。レンズは厚さを無視できる理想的な薄いレンズとし、収差は考えない。

$L_0$ の直前（$z=0$ の入射側）で $(y,\theta )$ の状態にあった光線が、16 枚のレンズ $L_0,L_1,\dots ,L_{15}$ を通過して $L_{16}$ の直前（$z=16d$ の入射側）に達したとき、その状態がもとの $(y,\theta )$ と一致したとする。これがどのような $(y,\theta )$ の光線についても成り立つような間隔 $d$ のうち、最小のものを $f$ を用いて表せ。

空気（屈折率 $1$）中に、半径 $R$、屈折率 $n$ の一様な透明ガラス球（ボールレンズ）が置かれている。ただし $1<n<2$ とする。球の中心を通る直線を光軸とし、光軸に平行な近軸光線の束を球の一方の側から入射させる。球を通過した光線が光軸と交わる点（後側焦点）は、光が球から出ていく側の球面と光軸の交点から、光の進む向きにどれだけ離れているか。この距離を $n$, $R$ を用いて表せ。ただし近軸近似を用い、反射や吸収は無視する。光線行列（ABCD 行列）を用いて求めてよい。

空気（屈折率 $1$）中で、焦点距離 $f_1=10\text{cm}$ の薄い凸レンズ $L_1$ と、焦点距離 $f_2=-20\text{cm}$ の薄い凹レンズ $L_2$ を同じ光軸上に置き、$L_2$ を $L_1$ の後方（光の進む側）$10\text{cm}$ の位置に置いた。$L_1$ の前方 $30\text{cm}$ の光軸上に、光軸に垂直に小さな物体を置く。光が $L_1$、$L_2$ の順に通ってできる最終的な像の横倍率（像の高さ $/$ 物体の高さ。倒立像なら負とする）を求めよ。ただし近軸近似を用いる。

空気（屈折率 $n_1=1.0$）中に、屈折率 $n_2=1.5$ の十分長いガラス棒が置かれている。ガラス棒の左端は、曲率半径 $5.0\text{cm}$ の凸の球面（曲率中心がガラスの内側にある）に磨かれている。この球面の頂点から左に $30\text{cm}$ 離れた光軸上に点光源を置く。近軸近似のもとで、球面での屈折の式
$$\frac{n_1}{s}+\frac{n_2}{s^{\prime }}=\frac{n_2-n_1}{R}$$
を使う。ここで $s$ は頂点から物体までの距離（物体が球面の左側にあるとき正）、$s^{\prime }$ は頂点から像までの距離（像が球面の右側、つまりガラスの中にあるとき正）、$R$ は曲率半径（曲率中心が球面の右側にあるとき正）とする。ガラスの中にできる像の位置は、球面の頂点から何 cm 右か。