光学の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理光学

空気（屈折率 $1$ ）中に、半径 $R$ 、屈折率 $n$ の一様な透明ガラス球（ボールレンズ）が置かれている。ただし $1 < n < 2$ とする。球の中心を通る直線を光軸とし、光軸に平行な近軸光線の束を球の一方の側から入射させる。球を通過した光線が光軸と交わる点（後側焦点）は、光が球から出ていく側の球面と光軸の交点から、光の進む向きにどれだけ離れているか。この距離を $n$ , $R$ を用いて表せ。ただし近軸近似を用い、反射や吸収は無視する。光線行列（ABCD 行列）を用いて求めてよい。

この問題で使うもの

球面での屈折と厚いレンズ（説明と入口の問題）
光線行列（ABCD 行列）（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

入射面での屈折、球内の伝搬、出射面での屈折の 3 つの行列を、光が通る順に右から掛けていきましょう。

ヒント 2

球面での屈折行列の成分は $- \frac{n _{2} - n _{1}}{r}$ です。出射面では曲率中心が光の来た側にあるので $r = - R$ となり、どちらの面も同じ値 $\frac{n - 1}{R}$ になります。

ヒント 3

全体の行列の $(1, 1)$ 成分は $\frac{2 - n}{n}$ 、 $(2, 1)$ 成分は $- \frac{2 ( n - 1 )}{n R}$ です。平行光線の出射直後の高さと角度から、光軸と交わるまでの距離を求めます。

答えと解説

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\frac{( 2 - n ) R}{2 ( n - 1 )}

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解説を読む

光線の状態を、光軸からの高さ $y$ と、（屈折率） $\times$ （光軸となす角） $= θ ~$ の組 $(y θ ~)$ で表す。近軸近似では、各光学要素の作用は次の $2 \times 2$ 行列で表される。

屈折率 $n_{1}$ から $n_{2}$ への、曲率半径 $r$ の球面での屈折（曲率中心が光の進む側にあるとき $r > 0$ ）： $(1 - P 01)$ 、 $P = \frac{n _{2} - n _{1}}{r}$
屈折率 $n$ の媒質中を光軸方向に距離 $t$ 進む： $(10 t / n 1)$

各要素

入射面：空気からガラスへ、曲率中心は光の進む側にあるので $r = R$ 、 $P_{1} = \frac{n - 1}{R}$ 。

球内の伝搬：光軸上の厚さは $2 R$ なので $(10 2 R / n 1)$ 。

出射面：ガラスから空気へ、曲率中心は光の来た側にあるので $r = - R$ 、 $P_{2} = \frac{1 - n}{- R} = \frac{n - 1}{R}$ 。

系全体の行列

$P = \frac{n - 1}{R}$ とおくと $P_{1} = P_{2} = P$ 。まず
$(10 2 R / n 1) (1 - P 01) = (1 - \frac{2 R P}{n} - P \frac{2 R}{n} 1)$
ここで $1 - \frac{2 R P}{n} = 1 - \frac{2 ( n - 1 )}{n} = \frac{2 - n}{n}$ 。次に出射面の行列を左から掛けると
$M = (1 - P 01) (\frac{2 - n}{n} - P \frac{2 R}{n} 1) = \frac{2 - n}{n} - P \cdot \frac{2 - n}{n} - P \frac{2 R}{n} 1 - \frac{2 R P}{n}$
$(2, 1)$ 成分は
$C = - P (\frac{2 - n}{n} + 1) = - \frac{n - 1}{R} \cdot \frac{2}{n} = - \frac{2 ( n - 1 )}{n R}$
である（有効焦点距離は $f = - 1/ C = \frac{n R}{2 ( n - 1 )}$ ）。

後側焦点の位置

光軸に平行な光線 $(y_{0} 0)$ が入射すると、出射面の直後で
$y_{1} = \frac{2 - n}{n} y_{0}, θ ~_{1} = C y_{0} = - \frac{2 ( n - 1 )}{n R} y_{0}$
出射後は空気中なので $θ ~_{1}$ がそのまま角度である。出射面から距離 $s$ 進んだ点での高さは $y_{1} + s θ ~_{1}$ で、これが $0$ になる $s$ が求める距離である：
$s = - \frac{y _{1}}{θ ~ _{1}} = \frac{\frac{2 - n}{n}}{\frac{2 ( n - 1 )}{n R}} = \frac{( 2 - n ) R}{2 ( n - 1 )}$
$1 < n < 2$ なので $s > 0$ であり、焦点は球の外側（出射側）にある。

（確認： $n = 1.5$ なら $s = R /2$ 、有効焦点距離は $f = 1.5 R$ で、球の中心から $f$ の位置、すなわち出射面から $f - R = R /2$ の位置に一致する。）

別解

光線ベクトルを $(y, θ)$ とする。球面での屈折の行列（曲率半径 $R_{s}$ 、屈折率 $n_{1} \to n_{2}$ ）は $(1 - \frac{n _{2} - n _{1}}{n _{2} R _{s}} 0 \frac{n _{1}}{n _{2}})$ 。

入射面（凸、 $R_{s} = R$ 、空気からガラス）: $M_{1} = (1 - \frac{n - 1}{n R} 0 \frac{1}{n})$ 。
球内の伝搬（長さ $2 R$ 、屈折率 $n$ 、 $θ$ を光線の傾きとして）: $T = (10 2 R 1)$ 。
出射面（ガラスから空気、 $R_{s} = - R$ ）: $M_{2} = 1 - \frac{1 - n}{1 \cdot ( - R )} 0 n = (1 - \frac{n - 1}{R} 0 n)$ 。

$T M_{1} = 1 - \frac{2 ( n - 1 )}{n} - \frac{n - 1}{n R} \frac{2 R}{n} \frac{1}{n} = \frac{2 - n}{n} - \frac{n - 1}{n R} \frac{2 R}{n} \frac{1}{n}$ 。

$M = M_{2} T M_{1}$ :
$A = \frac{2 - n}{n}$ 、 $B = \frac{2 R}{n}$ 、
$C = - \frac{n - 1}{R} \cdot \frac{2 - n}{n} - \frac{n ( n - 1 )}{n R} = - \frac{n - 1}{n R} [(2 - n) + n] = - \frac{2 ( n - 1 )}{n R}$ 、
$D = - \frac{n - 1}{R} \cdot \frac{2 R}{n} + 1 = \frac{n - 2 ( n - 1 )}{n} = \frac{2 - n}{n}$ 。

よって有効焦点距離（出射主平面から測る） $f = - 1/ C = \frac{n R}{2 ( n - 1 )}$ 。

平行光線 $(y_{0}, 0)$ は出射面で $y_{1} = A y_{0}$ 、 $θ_{1} = C y_{0}$ 。出射面から光軸と交わるまでの距離 $s$ は $y_{1} + s θ_{1} = 0$ より
$s = - \frac{A}{C} = \frac{( 2 - n ) / n}{2 ( n - 1 ) / ( n R )} = \frac{( 2 - n ) R}{2 ( n - 1 )}$ 。

検算: $n = 1.5$ で $s = \frac{0.5 R}{1} = 0.5 R$ 。有効焦点距離 $f = 1.5 R$ から球の半径 $R$ を引いた $f - R = 0.5 R$ と一致。 $n = 2$ で $s = 0$ （焦点が後面上）という既知の結果にも合う。

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