球面での屈折と厚いレンズ

近軸近似での球面の屈折 $\frac{n _{1}}{s} + \frac{n _{2}}{s ^{'}} = \frac{n _{2} - n _{1}}{R}$ とその光線行列を使い、厚いレンズやボールレンズの焦点距離・後側焦点の位置を求められる

前提

光線行列（ABCD 行列）（大学物理光学）

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算数中学高校大学大学院

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光線行列（ABCD 行列）（大学物理光学）

説明

屈折率の異なる 2 つの媒質の境界が球面になっているとき、光軸の近くを通る光線がどう曲がるかを、近軸近似の式 $\frac{n _{1}}{s} + \frac{n _{2}}{s ^{'}} = \frac{n _{2} - n _{1}}{R}$ と、それを表す光線行列で扱えるようになります。レンズを「2 つの球面と、その間のガラス中の伝搬」に分けて行列を掛け合わせれば、厚みを無視できないレンズ（厚いレンズ）や、ガラス球そのものをレンズとして使うボールレンズの焦点距離や後側焦点の位置を求められます。

なぜそうしてよいのか

光線を光軸からの高さ $y$ と光軸となす角 $θ$ （上向きを正）で表し、近軸近似（角度が小さく $sin θ \approx tan θ \approx θ$ ）を使います。屈折率 $n_{1}$ の媒質から $n_{2}$ の媒質へ、光は左から右へ進み、境界の球面の頂点を光軸上にとります。球面の曲率半径 $R$ は、曲率の中心が頂点より右（光の進む側）にあるとき正、左にあるとき負とします。高さ $y$ の点での球面の法線は曲率の中心を通るので、光軸に対して傾き $- \frac{y}{R}$ をもちます。したがって入射角は $θ_{1} + \frac{y}{R}$ 、屈折角は $θ_{2} + \frac{y}{R}$ で、屈折の法則の近軸近似 $n_{1} \times (入射角) = n_{2} \times (屈折角)$ より
$n_{1} (θ_{1} + \frac{y}{R}) = n_{2} (θ_{2} + \frac{y}{R}) ⟹ θ_{2} = \frac{n _{1}}{n _{2}} θ_{1} - \frac{n _{2} - n _{1}}{n _{2} R} y$
です。高さは境界で変わらないので、球面での屈折の光線行列は
$S = (1 - \frac{n _{2} - n _{1}}{n _{2} R} 0 \frac{n _{1}}{n _{2}})$
です。光軸上で頂点の左 $s$ の点から出た光線は $θ_{1} = \frac{y}{s}$ で球面に当たり、屈折後に頂点の右 $s^{'}$ の点で光軸と交わるなら $θ_{2} = - \frac{y}{s ^{'}}$ です。これを上の式に入れて $n_{2}$ を掛け、 $y$ で割ると $\frac{n _{1}}{s} + \frac{n _{2}}{s ^{'}} = \frac{n _{2} - n _{1}}{R}$ が得られます（ $y$ によらないので 1 点に像を結ぶ）。

厚いレンズは「球面 1 → 厚さ $d$ のガラス中の自由伝搬 → 球面 2」なので、全体の行列は $M = S_{2} T (d) S_{1}$ です（最初に通る $S_{1}$ が右端。ガラス中の伝搬も $T (d) = (10 d 1)$ で、角度は実際の角度のまま）。 $S$ の行列式は $\frac{n _{1}}{n _{2}}$ なので、レンズの両側が同じ媒質（空気など）なら $M$ の行列式は 1 になり、薄いレンズの系と同じように合成焦点距離は $f = - \frac{1}{C}$ です。さらに、光軸に平行な光線 $(y 0)$ はレンズの最後の面から $(A y C y)$ で出て、そこから距離 $z$ 進むと高さ $A y + z C y$ になるので、光軸と交わる点（後側焦点）は最後の面の頂点から $z = - \frac{A}{C}$ の位置です。厚いレンズでは $f$ と $- \frac{A}{C}$ は一般に一致しません（焦点距離は最後の面からではなく、別の基準面から測った距離だからです）。

手順

各球面について、光の進む向きを基準に曲率半径の符号を決める（曲率の中心が光の進む側なら $R > 0$ 、反対側なら $R < 0$ ）。入射側・出射側の屈折率 $n_{1}, n_{2}$ も確かめる
各球面の行列 $S = (1 - \frac{n _{2} - n _{1}}{n _{2} R} 0 \frac{n _{1}}{n _{2}})$ と、面の間の伝搬 $T (d) = (10 d 1)$ を書く
最初に通る面を右端にして $M = S_{2} T (d) S_{1}$ を計算し、 $(A C B D)$ を読み取る（両側が同じ媒質なら $A D - B C = 1$ で検算できる）
合成焦点距離は $f = - \frac{1}{C}$ 、後側焦点の位置は最後の面の頂点から $- \frac{A}{C}$ で求める

例題

半径 $r = 2.0 mm$ 、屈折率 $n = 1.5$ のガラス球（ボールレンズ）が空気（屈折率 $1$ ）中にある。光軸に平行な近軸光線をこの球に入射させるとき、後側焦点（光線が球を出たあと光軸と交わる点）は、球の出射側の頂点（光軸と球面の交点のうち、光が出ていく側のもの）から何 mm の位置にあるかを求めよ。近軸近似を用い、球面での屈折は $\frac{n _{1}}{s} + \frac{n _{2}}{s ^{'}} = \frac{n _{2} - n _{1}}{R}$ に対応する光線行列で扱ってよい。

例題の解答

手順 1: 入射側の面は曲率の中心が光の進む側にあるので $R_{1} = + r$ 、 $n_{1} = 1, n_{2} = n$ 。出射側の面は曲率の中心が光の来る側にあるので $R_{2} = - r$ 、 $n_{1} = n, n_{2} = 1$ 。面の間隔は球の直径 $2 r$ 。

手順 2:
$S_{1} = (1 - \frac{n - 1}{n r} 0 \frac{1}{n}), T (2 r) = (10 2 r 1), S_{2} = (1 - \frac{n - 1}{r} 0 n)$
（ $S_{2}$ の左下は $- \frac{1 - n}{1 \cdot ( - r )} = - \frac{n - 1}{r}$ ）

手順 3:
$T (2 r) S_{1} = \frac{2 - n}{n} - \frac{n - 1}{n r} \frac{2 r}{n} \frac{1}{n}, M = S_{2} T (2 r) S_{1} = \frac{2 - n}{n} - \frac{2 ( n - 1 )}{n r} \frac{2 r}{n} \frac{2 - n}{n}$
検算： $A D - B C = \frac{( 2 - n ) ^{2} + 4 ( n - 1 )}{n ^{2}} = 1$ 。

手順 4: 後側焦点の位置は
$- \frac{A}{C} = \frac{2 - n}{n} \cdot \frac{n r}{2 ( n - 1 )} = \frac{( 2 - n ) r}{2 ( n - 1 )} = \frac{0.5 \times 2.0}{2 \times 0.5} = 1.0 mm$
（参考：合成焦点距離は $f = - \frac{1}{C} = \frac{n r}{2 ( n - 1 )} = 3.0 mm$ で、球の中心から測った距離になっている）

答え: $1$

よくある誤り

2 つ目の面の曲率半径も正のまま $R_{2} = + r$ としてしまう誤り。光の進む向きから見て曲率の中心が手前（光の来る側）にあるので、正しくは $R_{2} = - r$ 。符号を誤ると、凸レンズとしてはたらくはずの 2 つ目の面が光を広げる面になってしまう
球面の行列の右下を 1 にして $(1 - \frac{n _{2} - n _{1}}{R} 01)$ としてしまう誤り。光線の角度は実際の角度で表しているので、屈折の法則から右下は $\frac{n _{1}}{n _{2}}$ 、左下は $- \frac{n _{2} - n _{1}}{n _{2} R}$
厚いレンズでも焦点が最後の面から $f = - \frac{1}{C}$ の位置にあるとしてしまう誤り。最後の面の頂点から後側焦点までの距離は $- \frac{A}{C}$ で、上の例では $f = 3.0 mm$ に対して $- \frac{A}{C} = 1.0 mm$
行列を通る順に左から掛けて $M = S_{1} T (d) S_{2}$ としてしまう誤り。正しくは最初に通る面が右端の $M = S_{2} T (d) S_{1}$ 。2 つの面の形が違うレンズでは $A$ と $D$ が入れ替わり、後側焦点の位置を誤る

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
空気（屈折率 $n_{1} = 1.0$ ）中に、屈折率 $n_{2} = 1.5$ の十分長いガラス棒が置かれている。ガラス棒の左端は、曲率半径 $5.0 cm$ の凸の球面（曲率中心がガラスの内側にある）に磨かれている。この球面の頂点から左に $30 cm$ 離れた光軸上に点光源を置く。近軸近似のもとで、球面での屈折の式
$\frac{n _{1}}{s} + \frac{n _{2}}{s ^{'}} = \frac{n _{2} - n _{1}}{R}$
を使う。ここで $s$ は頂点から物体までの距離（物体が球面の左側にあるとき正）、 $s^{'}$ は頂点から像までの距離（像が球面の右側、つまりガラスの中にあるとき正）、 $R$ は曲率半径（曲率中心が球面の右側にあるとき正）とする。ガラスの中にできる像の位置は、球面の頂点から何 cm 右か。

球面での屈折と厚いレンズ

前提

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よくある誤り

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