光線行列（ABCD 行列）

自由伝搬と薄いレンズの光線行列を掛け合わせてレンズ系全体の行列を求め、合成焦点距離 $f = - 1/ C$ や像の位置を求められる

前提

レンズの式と像（高校物理波動）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）

説明

光軸の近くを通る光線（近軸光線）を「光軸からの高さ $y$ 」と「光軸となす角 $θ$ 」の組で表し、レンズや空間を通るたびにこの組がどう変わるかを $2 \times 2$ 行列で書く方法です。いくつものレンズと間隔からなる光学系でも、各部分の行列を掛け合わせるだけで系全体の行列が得られ、そこから合成焦点距離や像の位置を機械的に求められます。組み合わせレンズ・望遠鏡・レーザーの共振器など、部品が多い系の計算で使います。

なぜそうしてよいのか

光線を列ベクトル $(y θ)$ で表します（ $θ$ は光軸に対する傾きで、上向きを正とし、近軸光線なので $tan θ \approx θ$ とします）。均一な媒質中を光軸方向に距離 $d$ だけ進むと、向きは変わらず高さが $d θ$ だけ変わるので $y^{'} = y + d θ, θ^{'} = θ$ 。これは $(y^{'} θ^{'}) = (10 d 1) (y θ)$ と書けます。焦点距離 $f$ の薄いレンズでは、レンズの厚みを無視するので高さは変わらず、向きだけが変わります。光軸に平行に高さ $y$ で入った光線は、レンズの後ろ $f$ の焦点を通るので、出ていく傾きは $- \frac{y}{f}$ です。したがってレンズは傾きを $- \frac{y}{f}$ だけ変えるはたらきをもち、 $y^{'} = y, θ^{'} = θ - \frac{y}{f}$ 、つまり行列は $(1 - 1/ f 01)$ です（凹レンズは $f < 0$ とします）。実際、光軸上でレンズの前 $a$ の点から出て高さ $y$ でレンズに当たる光線は $θ = \frac{y}{a}$ で、出ていく傾き $\frac{y}{a} - \frac{y}{f}$ が $- \frac{y}{b}$ に等しいとおくとレンズの式 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$ に戻ります。

光線は部品を順に通るので、最初の部品の行列 $M_{1}$ 、次の $M_{2}$ 、… を掛けると、系全体の行列は $M = M_{n} \dots M_{2} M_{1}$ （最初に通る部品がいちばん右）です。行列の積は非可換なので、この順序が大切です。全体の行列を $M = (A C B D)$ と書きます。

光軸に平行な光線 $(y 0)$ を入れると、出てくる傾きは $θ^{'} = C y$ です。焦点距離 $f$ の 1 枚の薄いレンズなら $θ^{'} = - \frac{y}{f}$ だったので、系全体を「平行光線を同じだけ曲げる 1 枚のレンズ」とみなした焦点距離（合成焦点距離）は $f = - \frac{1}{C}$ です（ $C \neq = 0$ のとき。 $C = 0$ なら平行光線は平行光線のまま出ていき、焦点をもちません）。また、物体から系の入口まで $s_{1}$ 、系の出口から像まで $s_{2}$ とすると、物体の 1 点から出た光線は傾きによらず像の 1 点に集まるので、 $T (s_{2}) M T (s_{1})$ （ $T (s) = (10 s 1)$ ）の右上の成分が 0 になることが結像の条件になります。

手順

光線が通る順に部品を並べ、それぞれの行列を書く。距離 $d$ の自由伝搬は $T (d) = (10 d 1)$ 、焦点距離 $f$ の薄いレンズは $L (f) = (1 - 1/ f 01)$ （凹レンズは $f < 0$ ）
最初に通る部品を右端に置き、 $M = M_{n} \dots M_{2} M_{1}$ の順に掛けて系全体の行列 $(A C B D)$ を求める
合成焦点距離は $f = - \frac{1}{C}$ （ $C \neq = 0$ ）で求める
像の位置を求めるときは、物体側の距離 $s_{1}$ と像側の距離 $s_{2}$ の自由伝搬を前後に掛けた $T (s_{2}) M T (s_{1})$ の右上の成分を 0 とおいて $s_{2}$ を解く

例題

焦点距離 $f_{1} = 20 cm$ の薄い凸レンズと、焦点距離 $f_{2} = 30 cm$ の薄い凸レンズを、光軸を共有させて間隔 $d = 10 cm$ で置いた。光は先に $f_{1}$ のレンズを通る。近軸光線を考え、光線を光軸からの高さ $y$ と光軸となす角 $θ$ の組 $(y θ)$ で表すとき、光線行列を用いてこのレンズ系の合成焦点距離 $f$ を cm 単位で求めよ。

例題の解答

手順 1: 光は「レンズ 1 → 間隔 $d$ → レンズ 2」の順に通る。それぞれの行列は $L (f_{1}) = (1 - 1/ f_{1} 01)$ 、 $T (d) = (10 d 1)$ 、 $L (f_{2}) = (1 - 1/ f_{2} 01)$ 。

手順 2: 最初に通るレンズ 1 を右端に置いて $M = L (f_{2}) T (d) L (f_{1})$ を計算する。
$T (d) L (f_{1}) = 1 - \frac{d}{f _{1}} - \frac{1}{f _{1}} d 1$
$M = 1 - \frac{1}{f _{2}} 01 1 - \frac{d}{f _{1}} - \frac{1}{f _{1}} d 1 = 1 - \frac{d}{f _{1}} - \frac{1}{f _{1}} - \frac{1}{f _{2}} + \frac{d}{f _{1} f _{2}} d 1 - \frac{d}{f _{2}}$
よって $C = - \frac{1}{f _{1}} - \frac{1}{f _{2}} + \frac{d}{f _{1} f _{2}} = - \frac{f _{1} + f _{2} - d}{f _{1} f _{2}}$ 。

手順 3: 合成焦点距離は
$f = - \frac{1}{C} = \frac{f _{1} f _{2}}{f _{1} + f _{2} - d} = \frac{20 \times 30}{20 + 30 - 10} = \frac{600}{40} = 15 cm$

答え: $15$

よくある誤り

通る順に左から掛けて $M = L (f_{1}) T (d) L (f_{2})$ としてしまう誤り。正しくは最初に通る部品が右端で $M = L (f_{2}) T (d) L (f_{1})$ 。行列の積は非可換なので、 $f_{1} \neq = f_{2}$ だと $A, D$ の成分が入れ替わり、像の位置などが変わってしまう
薄いレンズの行列の符号を逆にして $(1 1/ f 01)$ としてしまう誤り。正しくは凸レンズ（ $f > 0$ ）が光線を光軸側へ曲げるので $(1 - 1/ f 01)$
合成焦点距離を $f = \frac{1}{C}$ や $f = B$ としてしまう誤り。正しくは平行光線に対する出射角 $θ^{'} = C y$ を $- \frac{y}{f}$ と比べて $f = - \frac{1}{C}$ 。上の例では $C = - \frac{1}{15} c m^{- 1}$ なので $f = 15 cm$
自由伝搬の行列を $(1 d 01)$ としてしまう誤り。正しくは高さが $y + d θ$ に変わり角度は変わらないので $(10 d 1)$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
空気中で、焦点距離 $f_{1} = 20 cm$ の薄い凸レンズ $L_{1}$ と、焦点距離 $f_{2} = 30 cm$ の薄い凸レンズ $L_{2}$ を、光軸を共有して $d = 10 cm$ 離して置き、光は $L_{1}$ から $L_{2}$ の向きに進む。近軸光線を、光軸からの高さ $y$ と光軸となす角 $θ$ の組 $(y θ)$ で表し、距離 $d$ の自由伝搬の光線行列を $(10 d 1)$ 、焦点距離 $f$ の薄いレンズの光線行列を $(1 - 1/ f 01)$ とする。 $L_{1}$ の直前から $L_{2}$ の直後までの系全体の光線行列を $(A C B D)$ とし、系の合成焦点距離を $f = - \frac{1}{C}$ で定めるとき、 $f$ は何 $cm$ か。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

球面での屈折と厚いレンズ（大学物理光学）