光学の問題

光線行列

光線の状態を列ベクトル $\left(\begin{array}{c}y\\ \theta \end{array}\right)$ で表す。近軸近似では、距離 $d$ の自由伝搬と焦点距離 $F$ の薄いレンズの光線行列はそれぞれ
$$P=\left(\begin{array}{cc}1& d\\ 0& 1\end{array}\right),L(F)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{1}{F}& 1\end{array}\right)$$
である。

単位周期の行列

凸レンズ $L(f)$ → 距離 $d$ → 凹レンズ $L(-f)$ → 距離 $d$ を 1 周期とすると、1 周期の行列は $M=PL(-f)PL(f)$ である。一般に $f_1,f_2$ に対して
$$PL(f_1)=\left(\begin{array}{cc}1-\frac{d}{f_1}& d\\ -\frac{1}{f_1}& 1\end{array}\right),PL(f_2)=\left(\begin{array}{cc}1-\frac{d}{f_2}& d\\ -\frac{1}{f_2}& 1\end{array}\right)$$
となる。$M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)=(PL(f_2))(PL(f_1))$ の対角成分は
$$A=\left(1-\frac{d}{f_2}\right)\left(1-\frac{d}{f_1}\right)-\frac{d}{f_1},D=1-\frac{d}{f_2}$$
である。よって
$$A+D=2-\frac{2d}{f_1}-\frac{2d}{f_2}+\frac{d^2}{f_1{f}_2}$$
となる。$f_1=f,f_2=-f$ を代入すると
$$A+D=2-\frac{d^2}{f^2}$$
を得る。また、各行列の行列式は $1$ なので $\det M=1$ である。

$M^8=I$ となる条件

$L_0$ の直前から $L_{16}$ の直前までは 8 周期分なので、条件は「$M^8=I$（単位行列）」である。

$\det M=1$ より、固有値 $\lambda$ は ${\lambda }^2-(A+D)\lambda +1=0$ を満たし、2 つの固有値の積は $1$ である。

- $|A+D|>2$ のとき：固有値は $1$ 以外の実数 $\lambda ,1/\lambda$ なので、$M^8$ の固有値 ${\lambda }^8$ は $1$ にならず、$M^8\ne I$ である。
- $A+D=\pm 2$ のとき（$d=2f$）：$A+D=-2$ である。$A=(1+2)(1-2)-2=-5$ なので $M\ne -I$ となり、$M$ は対角化できない（ジョルダン標準形になる）。このとき $M^8\ne I$ である。
- $|A+D|<2$、すなわち $0<d<2f$ のとき：$\cos \varphi =\frac{A+D}{2}=1-\frac{d^2}{2f^2}$ $(0<\varphi <\pi )$ とおく。固有値は相異なる $e^{\pm i\varphi }$ であり、ケーリー・ハミルトンの定理から
$$M^N=\frac{\sin N\varphi }{\sin \varphi }M-\frac{\sin (N-1)\varphi }{\sin \varphi }I$$
が成り立つ。$M^N=I$ となるのは $e^{\pm iN\varphi }=1$、すなわち $N\varphi$ が $2\pi$ の整数倍のときである。

したがって $8\varphi =2\pi k$ が条件で、$0<\varphi <\pi$ より $\varphi =\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4}$ となる。$\cos \varphi =1-\frac{d^2}{2f^2}$ は $d$ について単調に減少するので、$\varphi$ が小さいほど $d$ は小さい。最小の $d$ は $\varphi =\frac{\pi }{4}$ に対応する。

$d$ の計算
$$1-\frac{d^2}{2f^2}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$d^2=2f^2\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=(2-\sqrt{2})f^2$$
$$d=f\sqrt{2-\sqrt{2}}(\approx 0.765f)$$
これは $0<d<2f$ を満たす。

よって、求める最小の間隔は $d=f\sqrt{2-\sqrt{2}}$ である。

1周期（$L_{2k}$ と $L_{2k+1}$ の組）の光線行列は、凸レンズ、距離 $d$ の伝播、凹レンズ、距離 $d$ の伝播の順に作用させて
$M=P(d)L(-f)P(d)L(f)$ となる。ここで $P(d)=\left(\begin{array}{cc}1& d\\ 0& 1\end{array}\right)$、$L(f)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1/f& 1\end{array}\right)$、$L(-f)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1/f& 1\end{array}\right)$。

$PL(-f)=\left(\begin{array}{cc}1+d/f& d\\ 1/f& 1\end{array}\right)$、$PL(f)=\left(\begin{array}{cc}1-d/f& d\\ -1/f& 1\end{array}\right)$ より
$M=\left(\begin{array}{cc}1-d/f-d^2/f^2& 2d+d^2/f\\ -d/f^2& 1+d/f\end{array}\right)$。

$\det M=1$、$\mathrm{tr}M=2-d^2/f^2$ である。固有値を $e^{\pm i\phi }$ とおくと $\cos \phi =1-\frac{d^2}{2f^2}$、すなわち $d=2f\sin (\phi /2)$。

16枚は8周期分なので、任意の光線で状態が元に戻る条件は $M^8=I$ である。$\phi \ne 0,\pi$ のとき固有値は相異なり $M$ は対角化可能なので、$M^8=I$ は $e^{8i\phi }=1$ と同値になる。よって $\phi =\pi k/4$ である。
$d>0$ で最小の $d$ を与えるのは、$\phi$ が 0 から増えるときの最初の値 $\phi =\pi /4$ である。このとき
$d=2f\sin (\pi /8)=f\sqrt{2-\sqrt{2}}$ （$\approx 0.765f$）。

検算：$d^2/f^2=2-\sqrt{2}$ より $\cos \phi =1-(2-\sqrt{2})/2=\sqrt{2}/2$ で、$\phi =\pi /4$ と一致する。$|\mathrm{tr}M|<2$ なので安定条件も満たす。$\phi =0$ すなわち $d=0$ は不適。