光学の問題

空気（屈折率 $1$）中で、焦点距離 $f_1=10\text{cm}$ の薄い凸レンズ $L_1$ と、焦点距離 $f_2=-20\text{cm}$ の薄い凹レンズ $L_2$ を同じ光軸上に置き、$L_2$ を $L_1$ の後方（光の進む側）$10\text{cm}$ の位置に置いた。$L_1$ の前方 $30\text{cm}$ の光軸上に、光軸に垂直に小さな物体を置く。光が $L_1$、$L_2$ の順に通ってできる最終的な像の横倍率（像の高さ $/$ 物体の高さ。倒立像なら負とする）を求めよ。ただし近軸近似を用いる。

空気中（屈折率 $1$）で、焦点距離 $f_1=20\mathrm{cm}$ の薄い凸レンズ ${\mathrm{L}}_1$ と、焦点距離 $f_2=-10\mathrm{cm}$ の薄い凹レンズ ${\mathrm{L}}_2$ を、共通の光軸上に間隔 $d=15\mathrm{cm}$ で置く。光は ${\mathrm{L}}_1$ の側から入射する。近軸光線近似が成り立つものとする。

このレンズ系全体の（後側）合成焦点距離は何 $\mathrm{cm}$ か。ただし合成焦点距離は、光線行列（ABCD 行列）を
$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$$
としたとき $f=-\frac{1}{C}$ で定め、光線の状態は（光軸からの高さ $y$、光軸となす角 $\theta$）の列ベクトルで表すものとする。

屈折率 $n=1.50$ の十分長いガラス棒の一端が、半径 $R=2.0\text{cm}$ の凸の球面（曲率中心はガラスの内部にある）に磨かれている。棒の中心軸を光軸とし、空気（屈折率 $1$）中で、球面の頂点から光軸上を外側へ $8.0\text{cm}$ 離れた位置に小さな点光源を置く。球面での屈折によって、ガラスの内部に像ができる。球面の頂点から像までの距離を $\text{cm}$ 単位で求めよ。ただし近軸近似を用い、棒のもう一方の端は考えなくてよい。

空気中で、焦点距離 $f_1=20\mathrm{cm}$ の薄い凸レンズ $L_1$ と、焦点距離 $f_2=30\mathrm{cm}$ の薄い凸レンズ $L_2$ を、光軸を共有して $d=10\mathrm{cm}$ 離して置き、光は $L_1$ から $L_2$ の向きに進む。近軸光線を、光軸からの高さ $y$ と光軸となす角 $\theta$ の組 $\left(\begin{array}{c}y\\ \theta \end{array}\right)$ で表し、距離 $d$ の自由伝搬の光線行列を $\left(\begin{array}{cc}1& d\\ 0& 1\end{array}\right)$、焦点距離 $f$ の薄いレンズの光線行列を $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1/f& 1\end{array}\right)$ とする。$L_1$ の直前から $L_2$ の直後までの系全体の光線行列を $\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$ とし、系の合成焦点距離を $f=-\frac{1}{C}$ で定めるとき、$f$ は何 $\mathrm{cm}$ か。

空気（屈折率 $1$）中で、光軸上に薄いレンズを等間隔 $d(d>0)$ で無限に並べたレンズ列（レンズ導波路）を考える。レンズを光軸上の位置 $z=0,d,2d,3d,\dots$ に置き、$z=0$ のレンズから順に $L_0,L_1,L_2,\dots$ とよぶ。$L_0,L_2,L_4,\dots$（偶数番目）は焦点距離 $f$ の凸レンズ、$L_1,L_3,L_5,\dots$（奇数番目）は焦点距離 $-f$ の凹レンズである（$f>0$）。光線は近軸光線とし、光線の状態を光軸からの高さ $y$ と光軸に対する傾き $\theta$ の組 $(y,\theta )$ で表す。レンズは厚さを無視できる理想的な薄いレンズとし、収差は考えない。

$L_0$ の直前（$z=0$ の入射側）で $(y,\theta )$ の状態にあった光線が、16 枚のレンズ $L_0,L_1,\dots ,L_{15}$ を通過して $L_{16}$ の直前（$z=16d$ の入射側）に達したとき、その状態がもとの $(y,\theta )$ と一致したとする。これがどのような $(y,\theta )$ の光線についても成り立つような間隔 $d$ のうち、最小のものを $f$ を用いて表せ。