光学の問題

屈折率 $n=1.50$ の十分長いガラス棒の一端が、半径 $R=2.0\text{cm}$ の凸の球面（曲率中心はガラスの内部にある）に磨かれている。棒の中心軸を光軸とし、空気（屈折率 $1$）中で、球面の頂点から光軸上を外側へ $8.0\text{cm}$ 離れた位置に小さな点光源を置く。球面での屈折によって、ガラスの内部に像ができる。球面の頂点から像までの距離を $\text{cm}$ 単位で求めよ。ただし近軸近似を用い、棒のもう一方の端は考えなくてよい。

空気（屈折率 $1$）中に、屈折率 $n=1.5$ のガラスでできた厚い両凸レンズが置かれている。光は左から右へ進む。第1面（左側の面）の曲率半径は $R_1=+6\text{cm}$、第2面（右側の面）の曲率半径は $R_2=-12\text{cm}$ である。曲率半径の符号は、曲率中心が面の頂点より右側にあるとき正とする。光軸上の頂点間の距離（レンズの厚さ）は $d=3\text{cm}$ である。

第1面の頂点から左へ $30\text{cm}$ の位置に、光軸に垂直な小さな物体を置いた。近軸近似が成り立つものとし、光線を列ベクトル $\left(\begin{array}{c}y\\ n\theta \end{array}\right)$（$y$ は光軸からの高さ、$\theta$ は光軸となす角、$n$ はその場所の屈折率）で表す光線行列（ABCD 行列）の方法を用いる。このとき、レンズによってできる像の位置は、第2面の頂点から右へ何 cm のところか。既約分数で答えよ。

空気（屈折率 $n_1=1$）から屈折率 $n_2=\sqrt{3}$ の平らなガラス面に、自然光（s 偏光と p 偏光が等しい強度で非干渉に重なった光）を入射させる。入射角をブリュースター角 ${\theta }_B$ にしたとき、反射光の強度は入射光の強度の何倍か。ただし、s 偏光の振幅反射率はフレネルの式
$$r_s=\frac{n_1\cos {\theta }_i-n_2\cos {\theta }_t}{n_1\cos {\theta }_i+n_2\cos {\theta }_t}$$
（${\theta }_i$ は入射角、${\theta }_t$ は屈折角）で与えられ、強度反射率は $|r_s{|}^2$ であるとする。ガラスでの吸収と、ガラスの裏面からの反射は考えない。答えは分数で答えよ。

屈折率 $n_1=\sqrt{2}$ のガラスの中から、屈折率 $n_2=1$ の空気との平らな境界面に、s 偏光の光が入射角 ${\theta }_i=\frac{\pi }{3}$ で入射する。s 偏光の振幅反射率はフレネルの式
$$r_s=\frac{n_1\cos {\theta }_i-n_2\cos {\theta }_t}{n_1\cos {\theta }_i+n_2\cos {\theta }_t}$$
で与えられ（${\theta }_t$ は屈折角）、臨界角を超える入射では屈折の法則 $n_1\sin {\theta }_i=n_2\sin {\theta }_t$ を満たす $\cos {\theta }_t$ を
$$n_2\cos {\theta }_t=i\sqrt{n_1^2{\sin }^2{\theta }_i-n_2^2}$$
ととる（$i$ は虚数単位）。このとき $r_s=e^{i{\delta }_s}$ と表される。反射による位相の変化 ${\delta }_s$ を $-\pi <{\delta }_s\le \pi$ の範囲で求めよ。

波長 $\lambda$ の単色光を使ったヤングの実験を考える。光源は、二重スリットから距離 $R$ だけ離れた位置にある幅 $b$ の一様な線光源で、スリットの並ぶ方向に広がっている。光源上の位置を $s$ $\left(-\frac{b}{2}\le s\le \frac{b}{2}\right)$、スクリーン上の位置を $x$、二重スリットの間隔を $d$、二重スリットとスクリーンの距離を $L$ とする。光源上の各点どうしは互いにインコヒーレントであり、位置 $s$ から $s+ds$ の部分だけがつくるスクリーン上の強度は
$$dI=I_0\left[1+\cos \left(\frac{2\pi dx}{L\lambda }+\frac{2\pi ds}{R\lambda }\right)\right]ds$$
で与えられるとする（$I_0$ は正の定数）。光源の幅が $b=\frac{R\lambda }{2d}$ のとき、スクリーン上の干渉縞の可視度 $V=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}$ を求めよ。答えは正確な値で答えよ。