光学の問題

空気（屈折率 $1$）中に、幅 $a=0.080\text{mm}$ の同じスリットが 2 本、中心間の距離 $d=0.30\text{mm}$ で平行に並んだ二重スリットがある。真空中の波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色平面波をスリット面に垂直に入射させ、十分遠方のスクリーンで像を観察する。スクリーン上には、2 本のスリットからの光の干渉による明線が、1 本のスリットによる回折の強度分布（包絡線）の中に並んで見える。単スリット回折の中央の明るい部分（中心の両側で最初に強度が $0$ になる 2 つの方向の間）の内側に現れる干渉の明線の本数を求めよ。ただし、フラウンホーファー回折の式が使えるものとし、干渉の明線は 2 本のスリットからの光の光路差が波長の整数倍になる方向に現れるものとする。

空気（屈折率 $1$）中で、幅 $a=0.200\text{mm}$ の単スリットに、真空中の波長 $\lambda =500\text{nm}$ の単色平面波をスリット面に垂直に入射させ、スリットから $L=2.00\text{m}$ 離れた平行なスクリーンで回折像を観察する。スクリーン上で、像の中心（スリットの中心からスクリーンに下ろした垂線の足）からスリットの幅の方向に $y=7.50\text{mm}$ 離れた点 $\text{P}$ での光の強度を $I_{\text{P}}$、像の中心での強度を $I_0$ とする。比 $\frac{I_{\text{P}}}{I_0}$ を、円周率 $\pi$ を用いた正確な値で求めよ。ただし、フラウンホーファー回折の式が使えるものとし、角度が小さいので $\sin \theta \approx \tan \theta =\frac{y}{L}$ と近似してよい。

空気中（屈折率 $1$）に置いた透過型回折格子は、幅 $a$ の同じスリットが周期 $d$ で多数並んだものであり、$d=3a$ である。この格子に、真空中の波長 $\lambda$ の単色平面波を、格子の法線に対して入射角 ${\theta }_0$ で斜めに入射させる。ここで $\sin {\theta }_0=\frac{1}{2}$、$d=6.4\lambda$ とする。透過側の十分遠方（フラウンホーファー回折）で、回折角 $\theta$（格子の法線から、入射光の傾きと同じ向きを正として測る）の方向に現れる主極大（格子の干渉による明線）のうち、実際に観測される（強度が $0$ でない）ものの個数を求めよ。ただし、$|\sin \theta |=1$ となる方向（格子面に沿う方向）には明線は観測されないものとし、スリット 1 本による回折の強度が $0$ となる方向と主極大の方向がちょうど一致するときは、その主極大は消える（欠落する）ものとする。

空気（屈折率 $1$）中でヤングの干渉実験を行う。

• 2 本の細いスリット $S_1$, $S_2$ がある面をスリット面とする。スリット面内でスリットに垂直な向きに $x$ 軸をとり、$S_1$ を $x=+\frac{d}{2}$、$S_2$ を $x=-\frac{d}{2}$ に置く。間隔は $d=0.50\text{mm}$ である。
• スリット面から光源側へ $D=0.50\text{m}$ 離れた位置に、スリットに平行な細い線状の白色光源を置く。光源の $x$ 座標は $s=+1.0\text{mm}$ である。
• スリット面から反対側へ $L=1.00\text{m}$ 離れた位置に、スリット面に平行なスクリーンを置く。スクリーン上の位置も同じ向きの $x$ 座標で表す。
• $S_1$ の直後だけを、厚さ $t=6.0\mu \text{m}$、屈折率 $n=1.50$ の薄い透明板で覆う。光は板をほぼ垂直に通過するものとし、板による光路長の増加は $(n-1)t$ とする。

スクリーン上には、2 つの経路の光路差が $0$ になる位置に白色の明線（0 次の明線）が 1 本だけ現れる。この明線の位置の $x$ 座標は何 mm か。有効数字 2 桁で求めよ。

空気（屈折率 $1$）中に、2 枚の同じ平面の半透鏡を、反射面が互いに平行になるように間隔 $d$ で向かい合わせて置いた（ファブリー・ペロー干渉計）。各半透鏡の強度反射率は $R=0.80$ で、光の吸収はない（強度透過率は $1-R$）。真空中の波長 $\lambda$ の単色平面波を鏡面に垂直に入射させ、2 枚の鏡の間で何度も反射しながら透過してくるすべての光の重ね合わせとして透過光の強度 $I_t$ を考える。間隔 $d$ を波長程度の範囲でゆっくり変えたとき、$I_t$ の最小値と最大値の比 $\frac{I_{t,\min }}{I_{t,\max }}$ を求めよ。ただし、各鏡での反射・透過で振幅に生じる位相の変化は $d$ によらない一定値であり、光は鏡の間を往復するたびに位相 $\delta =\frac{4\pi d}{\lambda }$（に一定値を加えたもの）だけ遅れるものとする。