光学の問題

空気（屈折率 $1$）中に、幅 $a=0.080\text{mm}$ の同じスリットが 2 本、中心間の距離 $d=0.30\text{mm}$ で平行に並んだ二重スリットがある。真空中の波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色平面波をスリット面に垂直に入射させ、十分遠方のスクリーンで像を観察する。スクリーン上には、2 本のスリットからの光の干渉による明線が、1 本のスリットによる回折の強度分布（包絡線）の中に並んで見える。単スリット回折の中央の明るい部分（中心の両側で最初に強度が $0$ になる 2 つの方向の間）の内側に現れる干渉の明線の本数を求めよ。ただし、フラウンホーファー回折の式が使えるものとし、干渉の明線は 2 本のスリットからの光の光路差が波長の整数倍になる方向に現れるものとする。

空気（屈折率 $1$）中で、幅 $a=0.200\text{mm}$ の単スリットに、真空中の波長 $\lambda =500\text{nm}$ の単色平面波をスリット面に垂直に入射させ、スリットから $L=2.00\text{m}$ 離れた平行なスクリーンで回折像を観察する。スクリーン上で、像の中心（スリットの中心からスクリーンに下ろした垂線の足）からスリットの幅の方向に $y=7.50\text{mm}$ 離れた点 $\text{P}$ での光の強度を $I_{\text{P}}$、像の中心での強度を $I_0$ とする。比 $\frac{I_{\text{P}}}{I_0}$ を、円周率 $\pi$ を用いた正確な値で求めよ。ただし、フラウンホーファー回折の式が使えるものとし、角度が小さいので $\sin \theta \approx \tan \theta =\frac{y}{L}$ と近似してよい。

空気（屈折率 $1$）中でヤングの干渉実験を行う。光源は、幅 $w=0.40\text{mm}$ の細長い一様な帯状の光源（スリット状の光源）で、帯の長さの方向は二重スリットのスリットに平行である。光源の各点は互いにインコヒーレントに、真空中の波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色光を一様な強さで出す。

光源から距離 $L_0=0.40\text{m}$ の位置に、光源の面と平行に、中心間の距離 $d=0.30\text{mm}$ の 2 本の十分に細い平行スリットを置き、光源の帯の中心は 2 本のスリットの中点から二重スリットの面に引いた垂線上にある。さらに、二重スリットから距離 $L=1.0\text{m}$ の位置に、スリットの面と平行なスクリーンを置く。

スクリーンの中心付近に現れる干渉縞の可視度
$$V=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}$$
を、正確な値（$\pi$ を含む式）で求めよ。ただし、$w,d\ll L_0$ および $d$ と観測点の位置 $\ll L$ として近軸近似を用い、2 本のスリットを通った光の振幅は等しく、スリット幅による回折の効果（包絡線）は考えなくてよいものとする。

屈折率 $1.60$ の平らなガラス板の表面に、屈折率 $1.40$ の一様な厚さ $d$ の透明な薄膜がつけられている。空気（屈折率 $1$）中から白色光を膜面に垂直に入射させ、反射光のスペクトルを調べたところ、真空中の波長が $420\text{nm}$ 以上 $700\text{nm}$ 以下の範囲で反射光の強度が極大となる波長は $480\text{nm}$ と $600\text{nm}$ の 2 つだけであった。屈折率は波長によらないものとし、膜の上面と下面で 1 回ずつ反射した 2 つの光の干渉だけを考える。膜の厚さ $d$ を $\text{nm}$ 単位で、分数の形の正確な値で求めよ。

空気（屈折率 $1$）中に透過型回折格子を置く。この格子は、幅 $a=0.625\mu \text{m}$ の同じスリットが周期 $d=2.50\mu \text{m}$（$1\text{mm}$ あたり $400$ 本）で平行に並んだものである。格子面に垂直に、真空中の波長 ${\lambda }_1=589.00\text{nm}$ と ${\lambda }_2=589.59\text{nm}$ の 2 つの成分を含む平面波を入射させる。光は格子のうち $N$ 本のスリットを一様に照らしている。回折光は十分遠方で観測する（フラウンホーファー回折）。各スリット内の光の振幅は一様とする。

次数 $m$ の主極大のうち、$\sin \theta <1$ を満たし、しかも両方の波長について強度が $0$ にならないものだけが観測できるとする。観測できる主極大のうち最も大きい次数を使って、この 2 つの波長を分解したい。分解できる条件は、レイリーの基準とする。すなわち、${\lambda }_2$ の $m$ 次の主極大の位置が、${\lambda }_1$ の $m$ 次の主極大に隣り合う長波長側（$\theta$ が大きい側）の最初の暗線の位置と一致するか、それより外側にあるとき、分解できるとする。

このとき、照らされるスリットの本数 $N$ の最小値を整数で求めよ。