光学の問題

曲率半径 $R=1.00\text{m}$ の球面をもつ平凸レンズ（屈折率 $1.50$）を、球面を下にして平面ガラス板（屈折率 $1.80$）の上に置き、接点で両者が接するようにする。レンズと板の間のすき間を屈折率 $1.60$ の透明な液体で満たし、真上から真空中の波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色光を垂直に当てて、反射光でニュートンリングを観察する。接点を中心とする明るい環のうち、中心の明るい点を除いて内側から数えて $4$ 番目の明るい環の半径を $\text{mm}$ 単位で、根号を含む正確な値で求めよ。ただし、すき間の厚さ $d$ は接点からの距離 $r$ を用いて $d=\frac{r^2}{2R}$ と近似でき、光はすき間をほぼ垂直に往復するものとする。また、すき間の上面と下面で 1 回ずつ反射した光の干渉だけを考える。

空気（屈折率 $1$）中で、幅 $a=0.200\text{mm}$ の単スリットに、真空中の波長 $\lambda =500\text{nm}$ の単色平面波をスリット面に垂直に入射させ、スリットから $L=2.00\text{m}$ 離れた平行なスクリーンで回折像を観察する。スクリーン上で、像の中心（スリットの中心からスクリーンに下ろした垂線の足）からスリットの幅の方向に $y=7.50\text{mm}$ 離れた点 $\text{P}$ での光の強度を $I_{\text{P}}$、像の中心での強度を $I_0$ とする。比 $\frac{I_{\text{P}}}{I_0}$ を、円周率 $\pi$ を用いた正確な値で求めよ。ただし、フラウンホーファー回折の式が使えるものとし、角度が小さいので $\sin \theta \approx \tan \theta =\frac{y}{L}$ と近似してよい。

空気（屈折率 $1$）中に、屈折率 $n=\frac{4}{3}$、厚さ $d=375\mathrm{nm}$ の一様な薄膜がある。白色光を、入射角 $\theta$ が $\sin \theta =\frac{4}{5}$ となるように膜に当て、膜の上面で反射した光と、膜に入って下面で反射し再び上面から出てきた光の干渉を観察する。屈折率の小さい媒質から大きい媒質への境界での反射では位相が $\pi$ ずれ、大きい媒質から小さい媒質への境界での反射では位相は変わらないとする。膜の中での多重反射は無視する。空気中での波長が $380\mathrm{nm}$ 以上 $780\mathrm{nm}$ 以下の範囲で、反射光が強め合う波長は何 $\mathrm{nm}$ か。既約分数で求めよ。

屈折率 $n=\sqrt{2}$ の一様で等方的な透明ガラス（吸収なし、透磁率は真空と同じ）の中から、ガラスと空気（屈折率 $1$）の平らな境界面に、単色の平面波を入射角 $\theta =\frac{\pi }{3}$ で入射させる。入射光は直線偏光で、その電場の振動方向は入射面と $\frac{\pi }{4}$ の角をなしている（すなわち、p 偏光成分と s 偏光成分の振幅が等しく、位相もそろっている）。

反射光は一般に楕円偏光になる。反射光の偏光の楕円の短軸の長さを長軸の長さで割った比を、既約分数で求めよ。ただし、境界面での反射・透過はフレネルの式に従うものとする。

空気（屈折率 $1$）中に、幅 $a=0.080\text{mm}$ の同じスリットが 2 本、中心間の距離 $d=0.30\text{mm}$ で平行に並んだ二重スリットがある。真空中の波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色平面波をスリット面に垂直に入射させ、十分遠方のスクリーンで像を観察する。スクリーン上には、2 本のスリットからの光の干渉による明線が、1 本のスリットによる回折の強度分布（包絡線）の中に並んで見える。単スリット回折の中央の明るい部分（中心の両側で最初に強度が $0$ になる 2 つの方向の間）の内側に現れる干渉の明線の本数を求めよ。ただし、フラウンホーファー回折の式が使えるものとし、干渉の明線は 2 本のスリットからの光の光路差が波長の整数倍になる方向に現れるものとする。