光学の問題

曲率半径 $R=1.00\text{m}$ の平凸レンズの凸面を、平らなガラス板の上に置く。レンズと板は中心の 1 点で接している。レンズと板のすき間を、屈折率 $n$ の透明な液体で満たす。レンズとガラス板はどちらも屈折率 $1.65$ のガラスでできていて、$1<n<1.65$ とする。

真上から真空中の波長 $\lambda =550\text{nm}$ の単色光を垂直に入射させ、反射光でニュートンリングを観察する。中心の暗点は数えず、中心から外側へ数えて 10 番目の暗環の半径を測ると、$r_{10}=2.03\text{mm}$ であった。

この液体の屈折率 $n$ を有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、光はほぼ垂直に入射・反射するとみなす。すき間の厚さ $t$ は中心からの距離 $r$ の点で $t\approx \frac{r^2}{2R}$ と近似してよい（$r\ll R$）。屈折率の小さい媒質から大きい媒質へ向かう光が境界で反射するときだけ、位相が $\pi$ ずれるものとする。

屈折率 $1.60$ の平らなガラス板の表面に、屈折率 $1.40$ の一様な厚さ $d$ の透明な薄膜がつけられている。空気（屈折率 $1$）中から白色光を膜面に垂直に入射させ、反射光のスペクトルを調べたところ、真空中の波長が $420\text{nm}$ 以上 $700\text{nm}$ 以下の範囲で反射光の強度が極大となる波長は $480\text{nm}$ と $600\text{nm}$ の 2 つだけであった。屈折率は波長によらないものとし、膜の上面と下面で 1 回ずつ反射した 2 つの光の干渉だけを考える。膜の厚さ $d$ を $\text{nm}$ 単位で、分数の形の正確な値で求めよ。

空気（屈折率 $1$）中で、幅 $a=0.200\text{mm}$ の単スリットに、真空中の波長 $\lambda =500\text{nm}$ の単色平面波をスリット面に垂直に入射させ、スリットから $L=2.00\text{m}$ 離れた平行なスクリーンで回折像を観察する。スクリーン上で、像の中心（スリットの中心からスクリーンに下ろした垂線の足）からスリットの幅の方向に $y=7.50\text{mm}$ 離れた点 $\text{P}$ での光の強度を $I_{\text{P}}$、像の中心での強度を $I_0$ とする。比 $\frac{I_{\text{P}}}{I_0}$ を、円周率 $\pi$ を用いた正確な値で求めよ。ただし、フラウンホーファー回折の式が使えるものとし、角度が小さいので $\sin \theta \approx \tan \theta =\frac{y}{L}$ と近似してよい。

空気（屈折率 $1$）中に、幅 $a=0.080\text{mm}$ の同じスリットが 2 本、中心間の距離 $d=0.30\text{mm}$ で平行に並んだ二重スリットがある。真空中の波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色平面波をスリット面に垂直に入射させ、十分遠方のスクリーンで像を観察する。スクリーン上には、2 本のスリットからの光の干渉による明線が、1 本のスリットによる回折の強度分布（包絡線）の中に並んで見える。単スリット回折の中央の明るい部分（中心の両側で最初に強度が $0$ になる 2 つの方向の間）の内側に現れる干渉の明線の本数を求めよ。ただし、フラウンホーファー回折の式が使えるものとし、干渉の明線は 2 本のスリットからの光の光路差が波長の整数倍になる方向に現れるものとする。

真空中に置かれたマイケルソン干渉計の一方の腕に、光路に沿った内側の長さが $L=5.0\mathrm{cm}$ の透明な気体セルを置く。光はこの腕を往復するので、セルの中を 2 回通過する。セルの窓は薄く、その影響は無視できる。光源は波長（真空中）$\lambda =600\mathrm{nm}$ の単色光で、観測面の中心にできる干渉縞の明暗を観測する。

はじめセルには圧力 $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ の気体が満たされており、この気体の屈折率は $n=1+2.7\times 10^{-4}$ である。温度を一定に保ったまま、セルから気体をゆっくり抜いて圧力を $4.0\times 10^4\mathrm{Pa}$ まで下げた。気体の屈折率 $n$ について、$n-1$ は（温度一定のとき）圧力に比例するものとする。

この間に、観測面の中心を通過した明線（明るい縞）の本数を求めよ。