この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

光学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理光学

屈折率 $n = 2$ の一様で等方的な透明ガラス（吸収なし、透磁率は真空と同じ）の中から、ガラスと空気（屈折率 $1$ ）の平らな境界面に、単色の平面波を入射角 $θ = \frac{π}{3}$ で入射させる。入射光は直線偏光で、その電場の振動方向は入射面と $\frac{π}{4}$ の角をなしている（すなわち、p 偏光成分と s 偏光成分の振幅が等しく、位相もそろっている）。

反射光は一般に楕円偏光になる。反射光の偏光の楕円の短軸の長さを長軸の長さで割った比を、既約分数で求めよ。ただし、境界面での反射・透過はフレネルの式に従うものとする。

この問題で使うもの

全反射での位相変化（説明と入口の問題）
斜め入射とフレネルの式（説明と入口の問題）
偏光の表し方とマリュスの法則（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（180 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず臨界角と比べて全反射が起こることを確かめましょう。全反射では s、p 成分とも振幅は変わらず、位相だけが変化します。

ヒント 2

全反射では $cos θ_{t}$ が純虚数 $i n^{2} sin^{2} θ - 1$ になり、 $r_{s}, r_{p}$ は $\frac{a - ib}{a + ib}$ の形になります。その偏角から s と p の位相差 $δ$ を求めます。

ヒント 3

$tan \frac{δ}{2}$ が求まれば、振幅の等しい 2 成分の位相差 $δ$ の楕円偏光の軸比は $tan \frac{δ}{2}$ （1 を超えるならその逆数）です。

答えと解説

答えを見る

\frac{1}{3}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

全反射の確認. 臨界角 $θ_{c}$ は $sin θ_{c} = \frac{1}{n} = \frac{1}{2}$ より $θ_{c} = \frac{π}{4}$ 。入射角 $\frac{π}{3} > \frac{π}{4}$ なので全反射が起こり、s、p 両成分とも反射率は 1（振幅反射率の絶対値が 1）で、位相だけが変わる。

フレネルの式. スネルの法則 $n sin θ = sin θ_{t}$ から $sin θ_{t} = 2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} > 1$ となり、 $cos θ_{t}$ は純虚数
$cos θ_{t} = i sin^{2} θ_{t} - 1 = i \frac{3}{2} - 1 = \frac{i}{2}$
になる（透過側で減衰する解をとる）。 $n cos θ = 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ 、 $cos θ = \frac{1}{2}$ だから
$r_{s} = \frac{n cos θ - cos θ _{t}}{n cos θ + cos θ _{t}} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{i}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{i}{2}} = \frac{1 - i}{1 + i},$
$r_{p} = \frac{cos θ - n cos θ _{t}}{cos θ + n cos θ _{t}} = \frac{\frac{1}{2} - i}{\frac{1}{2} + i} = \frac{1 - 2 i}{1 + 2 i} .$
$\frac{a - ib}{a + ib}$ （ $a, b > 0$ ）の偏角は $- 2 arctan \frac{b}{a}$ なので、位相の変化は
$δ_{s} = - 2 arctan 1 = - \frac{π}{2}, δ_{p} = - 2 arctan 2.$
相対位相差は $δ = δ_{s} - δ_{p} = 2 arctan 2 - \frac{π}{2} = 2 (arctan 2 - arctan 1)$ 。 $tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β}$ より $arctan 2 - arctan 1 = arctan \frac{2 - 1}{1 + 2} = arctan \frac{1}{3}$ 。よって
$tan \frac{δ}{2} = \frac{1}{3} .$
（ $r_{p}$ の符号の取り方を変える流儀では $δ$ が $π$ ずれるが、下で見るように楕円の軸比は変わらない。）

楕円の形. 反射光の p、s 成分は振幅が等しく（ $A$ とする）、位相差が $δ$ なので、ある点での電場は
$E_{p} = A cos ω t, E_{s} = A cos (ω t + δ)$
と書ける。 $\pm \frac{π}{4}$ 方向の成分に分けると
$\frac{E _{p} + E _{s}}{2} = 2 A cos \frac{δ}{2} cos (ω t + \frac{δ}{2}), \frac{E _{s} - E _{p}}{2} = - 2 A sin \frac{δ}{2} sin (ω t + \frac{δ}{2}) .$
2 つの成分は位相が $\frac{π}{2}$ ずれているので、これらの方向が楕円の主軸で、半軸の長さは $2 A cos \frac{δ}{2}$ と $2 A sin \frac{δ}{2}$ 。比は $tan \frac{δ}{2}$ またはその逆数で、小さい方が（短軸）/（長軸）である。 $δ$ が $π$ ずれると $tan$ と $cot$ が入れかわるだけなので、比は流儀によらない。

$tan \frac{δ}{2} = \frac{1}{3} < 1$ なので
$\frac{短軸}{長軸} = \frac{1}{3} .$

答え: $\frac{1}{3}$

別解

ガラス（ $n_{1} = 2$ ）から空気（ $n_{2} = 1$ ）への入射で、 $sin θ = 3 /2$ 、 $cos θ = 1/2$ 。臨界角は $sin θ_{c} = 1/ 2$ （ $4 5^{\circ}$ ）なので $θ = 6 0^{\circ}$ は全反射。屈折角は $sin θ_{t} = 2 \cdot 3 /2 = 6 /2 > 1$ で、 $cos θ_{t} = i sin^{2} θ_{t} - 1 = i / 2$ （減衰波側の符号）。

$r_{s} = \frac{n _{1} cos θ - n _{2} cos θ _{t}}{n _{1} cos θ + n _{2} cos θ _{t}} = \frac{1/ 2 - i / 2}{1/ 2 + i / 2} = \frac{1 - i}{1 + i} = - i$

$r_{p} = \frac{n _{2} cos θ - n _{1} cos θ _{t}}{n _{2} cos θ + n _{1} cos θ _{t}} = \frac{1/2 - i}{1/2 + i} = \frac{1 - 2 i}{1 + 2 i}$

どちらも $∣ r ∣ = 1$ なので反射光の p・s 成分の振幅は等しく、位相差だけが生じる。 $α = arctan 2$ とすると $ar g r_{p} = - 2 α$ 、 $ar g r_{s} = - π /2$ 。位相差 $δ = ar g r_{p} - ar g r_{s} = π /2 - 2 α$ 、 $δ /2 = π /4 - α$ 。

$tan (δ /2) = \frac{1 - 2}{1 + 2} = - \frac{1}{3}$ 。

振幅が等しく位相差 $δ$ の 2 成分 $(cos ω t, cos (ω t + δ))$ の楕円は、主軸が成分の軸と $4 5^{\circ}$ をなし、半軸の大きさが $∣ cos (δ /2) ∣$ と $∣ sin (δ /2) ∣$ に比例する。よって短軸/長軸 $= ∣ tan (δ /2) ∣ = \frac{1}{3}$ 。

検算: $tan δ = \frac{2 ( - 1/3 )}{1 - 1/9} = - \frac{3}{4}$ 。実際 $r_{p} / r_{s} = \frac{1 - 2 i}{( 1 + 2 i ) ( - i )} = \frac{( 1 - 2 i ) i}{( 1 + 2 i )} \cdot \frac{1}{i \cdot ( - i ) \cdot}$ を整理すると、 $δ = π /2 - 2 arctan 2$ より $tan δ = cot (2 arctan 2) = \frac{1 - 4}{4} = - \frac{3}{4}$ で一致。位相差が $π$ ずれる符号規約でも短軸/長軸は $min (∣ tan ∣, ∣ cot ∣)$ なので変わらない。

光学の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題