相互誘導とソレノイドのインダクタンス

鉄心に巻いたコイルの磁束から自己インダクタンス $L = \frac{μ N ^{2} S}{l}$ と相互インダクタンス $M = \frac{μ N _{1} N _{2} S}{l}$ を求め、二次コイルの誘導起電力 $V_{2} = - M \frac{Δ I _{1}}{Δ t}$ や、一次電流を $0$ から $I_{0}$ に変えたときに二次回路を通過する電気量 $\frac{M I _{0}}{R}$ を求められる

前提

自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）

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算数中学高校大学大学院

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自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）

説明

鉄心に巻いたコイル（ソレノイド）の形と巻数から、自己インダクタンス $L$ と相互インダクタンス $M$ を計算できるようになります。 $M$ がわかると、一次コイルの電流を変えたときに二次コイルに生じる誘導起電力 $V_{2} = - M \frac{Δ I _{1}}{Δ t}$ を求められます。さらに、一次電流を $0$ から $I_{0}$ に変えたときに二次回路を流れる電気量 $\frac{M I _{0}}{R}$ も求められます。変圧器のように、2 つのコイルを同じ鉄心に巻いた装置を考えるときに使います。

なぜそうしてよいのか

長さ $l$ 、断面積 $S$ 、巻数 $N_{1}$ のソレノイドに電流 $I_{1}$ を流すと、内部の磁場の強さは $H = \frac{N _{1}}{l} I_{1}$ です。透磁率 $μ$ の鉄心が入っているので磁束密度は $B = μ H = \frac{μ N _{1} I _{1}}{l}$ 、1 巻きを貫く磁束は $Φ = B S = \frac{μ N _{1} S I _{1}}{l}$ となります。電磁誘導の法則によると、コイル全体の起電力は「巻数 × 1 巻きの磁束の変化率」なので、 $V_{1} = - N_{1} \frac{ΔΦ}{Δ t} = - \frac{μ N _{1}^{2} S}{l} \frac{Δ I _{1}}{Δ t}$ です。これを $V = - L \frac{Δ I}{Δ t}$ と見比べると、 $L = \frac{μ N _{1}^{2} S}{l}$ が得られます。 $N$ が 2 乗になるのは、磁束が $N$ に比例し、さらにその磁束を $N$ 巻きぶん数えるからです。

同じ鉄心に巻数 $N_{2}$ の二次コイルを巻き、一次コイルの磁束がすべて二次コイルも貫く（磁束が漏れない）とします。すると、二次コイルの起電力は $V_{2} = - N_{2} \frac{ΔΦ}{Δ t} = - \frac{μ N _{1} N _{2} S}{l} \frac{Δ I _{1}}{Δ t}$ です。比例定数を $M = \frac{μ N _{1} N _{2} S}{l}$ （相互インダクタンス、単位は H）とおけば、 $V_{2} = - M \frac{Δ I _{1}}{Δ t}$ と書けます。この現象を相互誘導といいます。起電力の向きは、レンツの法則のとおり磁束の変化を妨げる向きです。

二次回路の全抵抗を $R$ とすると、電流は $I_{2} = \frac{V _{2}}{R}$ です。通過する電気量は $I_{2} Δ t$ の合計なので、 $Δ t$ が打ち消し合って $q = \frac{M}{R} \times (Δ I_{1} の合計) = \frac{M I _{0}}{R}$ （大きさ）となります。したがって、電流を速く変えても遅く変えても $q$ は同じです。二次コイル自身の自己誘導 $- L_{2} \frac{Δ I _{2}}{Δ t}$ を加えても、合計すると $- L_{2} \times (I_{2} の変化)$ になります。 $I_{2}$ は $0$ から始まって最後に $0$ に戻るので、この項は $0$ になり、結果は変わりません。

手順

鉄心内の磁束を求める： $B = \frac{μ N _{1} I _{1}}{l}$ 、 $Φ = B S = \frac{μ N _{1} S I _{1}}{l}$ （長さ・面積は m, m $^{2}$ に直す）
自己インダクタンスを求める： $N_{1} Φ = L I_{1}$ より $L = \frac{μ N _{1}^{2} S}{l}$
相互インダクタンスを求める：二次コイルを貫く磁束も $Φ$ なので、 $N_{2} Φ = M I_{1}$ より $M = \frac{μ N _{1} N _{2} S}{l}$
二次コイルの誘導起電力を求める： $V_{2} = - M \frac{Δ I _{1}}{Δ t}$ 。大きさは $M \frac{∣Δ I _{1} ∣}{Δ t}$ 、向きはレンツの法則で決める
二次回路を通過する電気量を求める： $q = \frac{M ∣Δ I _{1} ∣}{R}$ 。一次電流を $0$ から $I_{0}$ に変えたときは $q = \frac{M I _{0}}{R}$

例題

長さ $0.20 m$ 、断面積 $4.0 c m^{2}$ の鉄心（透磁率 $μ = 1.0 \times 1 0^{- 3} N/ A^{2}$ ）に、一次コイルを $500$ 回、二次コイルを $200$ 回、それぞれ鉄心全体に一様に巻いた。一次コイルがつくる磁束はすべて鉄心内を通り、二次コイルを貫くものとする。二次コイルの両端には抵抗をつなぎ、二次回路全体の抵抗は $4.0 Ω$ である。一次コイルの電流を $0$ から $2.0 A$ まで増やしたとき、二次回路を通過する電気量の大きさは何 C か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1：断面積を m $^{2}$ に直すと $S = 4.0 \times 1 0^{- 4} m^{2}$ です。鉄心内の磁束は $Φ = \frac{μ N _{1} S I _{1}}{l}$ です。
手順3：二次コイルも同じ $Φ$ に貫かれるので、相互インダクタンスは
$M = \frac{μ N _{1} N _{2} S}{l} = \frac{1.0 \times 1 0 ^{- 3} \times 500 \times 200 \times 4.0 \times 1 0 ^{- 4}}{0.20} = 0.20 H$
となります（この問題では $L$ は不要なので手順2は省きます）。
手順4・5：電流の変化中は二次コイルに $V_{2} = - M \frac{Δ I _{1}}{Δ t}$ が生じ、 $I_{2} = \frac{V _{2}}{R}$ が流れます。 $I_{2} Δ t$ を合計すると、通過する電気量の大きさは
$q = \frac{M I _{0}}{R} = \frac{0.20 \times 2.0}{4.0} = 0.10 C$
です。電流を変える速さには関係しません。

答え: $0.10$

よくある誤り

自己インダクタンスを $L = \frac{μ N S}{l}$ と巻数の 1 乗にしてしまう誤り。正しくは、磁束 $Φ$ が $N$ に比例し、それを $N$ 巻きぶん数えるので $L = \frac{μ N ^{2} S}{l}$ 。
相互インダクタンスを $M = \frac{μ N _{2}^{2} S}{l}$ や $\frac{μ N _{1}^{2} S}{l}$ としてしまう誤り。正しくは、磁束をつくるのが一次コイル（ $N_{1}$ ）、それを数えるのが二次コイル（ $N_{2}$ ）なので $M = \frac{μ N _{1} N _{2} S}{l}$ 。
単位長さあたりの巻数 $n = \frac{N}{l}$ と全巻数 $N$ を混同して $L = \frac{μ n ^{2} S}{l}$ としてしまう誤り。正しくは $L = \frac{μ N ^{2} S}{l} = μ n^{2} S l$ 。また、 $c m^{2}$ を $m^{2}$ に直し忘れる誤り（ $4.0 c m^{2} = 4.0 \times 1 0^{- 4} m^{2}$ ）にも注意する。
通過する電気量を $q = \frac{V _{2}}{R}$ としたり、変化にかかった時間 $Δ t$ で割ったりしてしまう誤り。正しくは $q = \frac{V _{2}}{R} \times Δ t = \frac{M Δ I _{1}}{R}$ で、時間によらず $\frac{M I _{0}}{R}$ になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
断面積 $S = 4.0 \times 1 0^{- 4} m^{2}$ 、長さ $l = 0.20 m$ のまっすぐな鉄心がある。この鉄心の全長にわたって一様に、導線を $N_{1} = 400$ 回巻いて一次コイルとした。さらに、その上から別の導線を $N_{2} = 100$ 回巻いて二次コイルとした。鉄心の透磁率は $μ = 1.0 \times 1 0^{- 3} N/ A^{2}$ で一定とする。鉄心内の磁場は一様で、一次コイルがつくる磁束はすべて鉄心の中を通って二次コイルを貫き、鉄心の外にもれないものとする。
一次コイルに流す電流を、 $0.020 s$ の間に $0$ から $0.40 A$ まで一定の割合で増加させた。この間に二次コイルに生じる誘導起電力の大きさは何 V か。有効数字 2 桁で求めよ。
一次コイル $N_{1} = 400$ 二次コイル $N_{2} = 100$ $l = 0.20 m$ 鉄心
模式図（二次コイルは一次コイルの上から巻いてある）

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

インダクタンスと磁場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））