電磁気と交流の問題

抵抗値 $R$ の抵抗と自己インダクタンス $L$ のコイルを直列につないだ部分を X とする。X と、電気容量 $C$ のコンデンサーを並列につなぎ、その両端に角周波数 $\omega$ の交流電源をつないだ。電源の電圧の実効値と角周波数 $\omega$ は一定である。

この角周波数 $\omega$ の交流に対して、電源から流れ出る電流が電源の電圧と同位相になるようにしたい。そのための $C$ を、$R$, $L$, $\omega$ を用いて表せ。ただし、コイルの導線と回路の導線の抵抗、電源の内部抵抗は無視できるものとし、回路は十分に時間がたった定常状態にあるものとする。

水平面と角 $\theta \left(0<\theta <\frac{\pi }{2}\right)$ をなす斜面に沿って、2 本の長い平行な金属レールを間隔 $l$ で、斜面の最大傾斜の方向に置いた。レールの上端どうしは抵抗値 $R$ の抵抗でつながれている。この空間全体には、鉛直上向きに磁束密度の大きさ $B$ の一様な磁場がかかっている。

質量 $m$ の金属棒を、レールと垂直になるように（水平に）レールの上にのせ、静かにはなすと、棒はレールと垂直を保ったままレールに沿ってすべり下り、やがて一定の速さになった。この一定の速さを、$m$, $g$, $R$, $B$, $l$, $\theta$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、金属棒とレールの電気抵抗、金属棒とレールの間の摩擦、回路の自己誘導は無視できるものとする。また、レールは十分に長く、棒はレールから外れないものとする。

抵抗値を自由に変えられる可変抵抗と、自己インダクタンス $L$ のコイルを直列につなぎ、その両端に、電圧の実効値 $V$、角周波数 $\omega$ の交流電源をつないだ。電源の電圧の実効値と角周波数は一定に保つ。

可変抵抗の抵抗値をいろいろに変えたとき、可変抵抗で消費される平均の電力の最大値を、$V$, $L$, $\omega$ を用いて表せ。ただし、コイルと導線の抵抗、電源の内部抵抗は無視できるものとし、可変抵抗の抵抗値は正の値をとるものとする。

長さ $0.20\mathrm{m}$、断面積 $4.0\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$ の中空の円筒に、導線を $500$ 回一様に巻いて細長いソレノイドをつくった。このソレノイドに $2.0\mathrm{A}$ の一定の電流を流しているとき、ソレノイドに蓄えられているエネルギーは何 J か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、真空の透磁率を ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}N/{\mathrm{A}}^2$、円周率を $\pi =3.14$ とし、円筒の内部の透磁率は真空の透磁率に等しいものとする。また、ソレノイドの内部の磁場は一様で、外部の磁場は無視できるものとする。

真空中に、十分に長い 3 本の直線導線 A, B, C が、紙面に垂直に互いに平行に張られている。紙面と導線 A, B, C の交点をそれぞれ点 A, B, C とすると、三角形 ABC は 1 辺の長さが $a$ の正三角形である。

導線 A には紙面の裏から表の向きに大きさ $I$ の電流を、導線 B には紙面の表から裏の向きに大きさ $2I$ の電流を、導線 C には紙面の裏から表の向きに大きさ $I$ の電流を流す。真空の透磁率を ${\mu }_0$ とし、地磁気の影響は無視する。

導線 C の長さ 1 m あたりの部分が、導線 A, B を流れる電流のつくる磁場から受ける力の大きさを、${\mu }_0$, $I$, $a$ を用いて表せ。