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電磁気と交流の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理電磁気と交流

抵抗値を自由に変えられる可変抵抗と、自己インダクタンス $L$ のコイルを直列につなぎ、その両端に、電圧の実効値 $V$ 、角周波数 $ω$ の交流電源をつないだ。電源の電圧の実効値と角周波数は一定に保つ。

可変抵抗の抵抗値をいろいろに変えたとき、可変抵抗で消費される平均の電力の最大値を、 $V$ , $L$ , $ω$ を用いて表せ。ただし、コイルと導線の抵抗、電源の内部抵抗は無視できるものとし、可変抵抗の抵抗値は正の値をとるものとする。

V, ω

可変抵抗

L

この問題で使うもの

交流の電力・力率と可変抵抗の最大電力（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（86 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

可変抵抗の抵抗値を $R$ として、可変抵抗で消費される電力を $R$ の式で表し、その最大値を考えます。

ヒント 2

電流の実効値は $I = \frac{V}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$ 、消費電力は $P = R I^{2}$ です。コイルは平均として電力を消費しません。

ヒント 3

$P = \frac{V ^{2}}{R + \frac{ω ^{2} L ^{2}}{R}}$ と変形し、分母の最小値を相加平均と相乗平均の関係で求めましょう。

答えと解説

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\frac{V ^{2}}{2 ω L}

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解説を読む

可変抵抗の抵抗値を $R (R > 0)$ とする。抵抗とコイルの直列回路のインピーダンスは
$Z = R^{2} + (ω L)^{2}$
なので、回路を流れる電流の実効値は
$I = \frac{V}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$
である。コイルは電力を平均として消費しない（エネルギーを蓄えたり放出したりするだけ）ので、電力を消費するのは可変抵抗だけで、その平均の電力は
$P = R I^{2} = \frac{R V ^{2}}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$
である。分母・分子を $R$ で割ると
$P = \frac{V ^{2}}{R + \frac{ω ^{2} L ^{2}}{R}}$
$R > 0$ , $\frac{ω ^{2} L ^{2}}{R} > 0$ なので、相加平均と相乗平均の関係より
$R + \frac{ω ^{2} L ^{2}}{R} ≧ 2 R \cdot \frac{ω ^{2} L ^{2}}{R} = 2 ω L$
等号は $R = \frac{ω ^{2} L ^{2}}{R}$ 、すなわち $R = ω L$ のときに成り立つ。分母が最小のとき $P$ は最大なので、 $R = ω L$ のとき
$P_{max} = \frac{V ^{2}}{2 ω L}$
となる。

別解

可変抵抗の抵抗値を $r (> 0)$ とする。回路のインピーダンスは $Z = r^{2} + ω^{2} L^{2}$ なので、電流の実効値は $I = \frac{V}{r ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$ 。可変抵抗で消費される平均電力は（コイルでは電力を消費しない）
$P = I^{2} r = \frac{V ^{2} r}{r ^{2} + ω ^{2} L ^{2}} = \frac{V ^{2}}{r + \frac{ω ^{2} L ^{2}}{r}}$
相加・相乗平均より $r + \frac{ω ^{2} L ^{2}}{r} \geq 2 ω L$ （等号は $r = ω L$ のとき。 $r > 0$ なので成立可能）。したがって
$P_{m a x} = \frac{V ^{2}}{2 ω L}$

検算： $r = ω L$ のとき $I = \frac{V}{2 ω L}$ 、 $P = I^{2} r = \frac{V ^{2}}{2 ω ^{2} L ^{2}} \cdot ω L = \frac{V ^{2}}{2 ω L}$ で一致する。

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