この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

電磁気と交流の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理電磁気と交流

実効値 $100 V$ 、角周波数 $200 rad/s$ の交流電源に、可変抵抗（抵抗値 $R$ ）と自己インダクタンス $0.25 H$ のコイルを直列につないだ。コイルの抵抗と導線の抵抗は無視でき、交流電源の内部抵抗もないものとする。 $R$ をいろいろな値に変えたとき、可変抵抗で消費される平均電力の最大値は何 W か。

100 V

200 rad/s

R

0.25 H

この問題で使うもの

交流の電力・力率と可変抵抗の最大電力（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（86 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「交流の電力・力率と可変抵抗の最大電力」を使います。まずコイルのリアクタンス $ω L$ を求め、平均電力を $R$ の式で表しましょう。

ヒント 2

平均電力は $P = I_{e}^{2} R = \frac{V _{e}^{2} R}{R ^{2} + ( ω L ) ^{2}}$ です。分母・分子を $R$ で割り、 $R + \frac{( ω L ) ^{2}}{R}$ が最小になる $R$ を考えます。

ヒント 3

$ω L = 50 Ω$ なので $P = \frac{10 0 ^{2}}{R + \frac{2500}{R}}$ 。 $R + \frac{2500}{R} = (R - \frac{50}{R})^{2} + 100$ と変形すると、 $R = 50 Ω$ のとき分母が最小になります。

答えと解説

答えを見る

100

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

手順 1：コイルのリアクタンスを求める

コイルのリアクタンスは
$X_{L} = ω L = 200 \times 0.25 = 50 Ω$

手順 2：平均電力を $R$ の式で表す

RL 直列回路のインピーダンスは $Z = R^{2} + X_{L}^{2}$ なので、電流の実効値は
$I_{e} = \frac{V _{e}}{R ^{2} + X _{L}^{2}}$
コイルは平均すると電力を消費しないので、回路で消費される平均電力は可変抵抗で消費される電力に等しい。よって
$P = V_{e} I_{e} cos ϕ = I_{e}^{2} R = \frac{V _{e}^{2} R}{R ^{2} + X _{L}^{2}}$
（ $cos ϕ = \frac{R}{Z}$ を使っても同じ式になる。）

手順 3：最大になる $R$ を求める

分母・分子を $R (> 0)$ で割ると
$P = \frac{V _{e}^{2}}{R + \frac{X _{L}^{2}}{R}}$
分母は
$R + \frac{X _{L}^{2}}{R} = (R - \frac{X _{L}}{R})^{2} + 2 X_{L} \geq 2 X_{L}$
と変形でき、等号は $R = \frac{X _{L}}{R}$ 、すなわち $R = X_{L} = 50 Ω$ のときに成り立つ。分母が最小のとき $P$ は最大になる。

手順 4：最大値を計算する
$P_{m a x} = \frac{V _{e}^{2}}{2 X _{L}} = \frac{10 0 ^{2}}{2 \times 50} = \frac{10000}{100} = 100 W$

よって、平均電力の最大値は $100 W$ である。

別解

コイルのリアクタンスは $X_{L} = ω L = 200 \times 0.25 = 50 Ω$ 。インピーダンスは $Z = R^{2} + X_{L}^{2}$ 。電流の実効値は $I = V / Z$ なので、抵抗で消費される平均電力は
$P = I^{2} R = \frac{V ^{2} R}{R ^{2} + X _{L}^{2}} = \frac{V ^{2}}{R + X _{L}^{2} / R}$ 。
$R > 0$ で相加・相乗平均より $R + X_{L}^{2} / R \geq 2 X_{L}$ で、等号は $R = X_{L} = 50 Ω$ のとき成り立つ。
よって $P_{ma x} = \frac{V ^{2}}{2 X _{L}} = \frac{10 0 ^{2}}{2 \times 50} = 100 W$ 。
検算: $R = 50$ のとき $Z = 502$ 、 $I = 100/ (502) = 2$ A、 $P = I^{2} R = 2 \times 50 = 100$ W。 $R = 25$ のとき $P = 10000 \cdot 25/ (625 + 2500) = 80$ W、 $R = 100$ のとき $P = 10000 \cdot 100/ (10000 + 2500) = 80$ W で、100 W より小さく整合する。

電磁気と交流の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題