電磁気と交流の問題

1. コンデンサーのリアクタンス

$$X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{500\times 40\times 10^{-6}}=\frac{1}{0.020}=50\Omega$$

2. インピーダンスと電流の実効値

抵抗とコンデンサーの直列回路なので、インピーダンスは
$$Z=\sqrt{R^2+X_C^2}=\sqrt{R^2+2500}$$
電流の実効値は $I_e=\frac{V_e}{Z}$（$V_e=100\mathrm{V}$）です。

3. 平均電力を $R$ の式で表す

コンデンサーは電力を消費しない（電流と電圧の位相が $\frac{\pi }{2}$ ずれるので平均すると $0$）ので、平均電力は抵抗で消費される分だけです。
$$\overline{P}=V_e{I}_e\cos \varphi =I_e^{2}R=\frac{V_e^{2}R}{R^2+X_C^2}=\frac{10000R}{R^2+2500}$$
（$\cos \varphi =\frac{R}{Z}$ を使っても同じ式になります。）

4. 最大値を求める（判別式）

$\overline{P}=P$ とおいて分母をはらうと
$$P{R}^2-10000R+2500P=0$$
これを満たす正の実数 $R$ が存在するためには、判別式が $0$ 以上であればよい（$P>0$ のとき解の積 $2500>0$、和 $\frac{10000}{P}>0$ なので実数解はどちらも正）。
$$D=10000^2-4\times P\times 2500P\ge 0$$
$$10^8-10^4{P}^2\ge 0⟹P^2\le 10^4⟹P\le 100$$
等号が成り立つのは重解 $R=\frac{10000}{2P}=\frac{10000}{200}=50\Omega$ のときで、これは $R=X_C$ のときです。

（確認：$R=50\Omega$ のとき $\overline{P}=\frac{10000\times 50}{2500+2500}=100\mathrm{W}$。一般に最大値は $\frac{V_e^2}{2X_C}=\frac{10000}{100}=100$。）

よって、平均電力の最大値は $100\mathrm{W}$ です。

コンデンサーのリアクタンスは $X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{500\times 40\times 10^{-6}}=\frac{1}{0.02}=50\Omega$。

回路のインピーダンスは $Z=\sqrt{R^2+X_C^2}$。電流の実効値は $I=\frac{V}{Z}$。抵抗だけが電力を消費するので、平均電力は
$P=I^{2}R=\frac{V^{2}R}{R^2+X_C^2}=\frac{V^2}{R+X_C^2/R}$。

$R>0$ のとき、相加平均・相乗平均の関係より $R+\frac{X_C^2}{R}\ge 2X_C$ で、等号は $R=X_C=50\Omega$ のとき成り立つ。

したがって $P_{\max }=\frac{V^2}{2X_C}=\frac{100^2}{2\times 50}=100\mathrm{W}$。

検算：$R=50$ のとき $Z=50\sqrt{2}$、$I=100/(50\sqrt{2})=\sqrt{2}$ A、$P=I^{2}R=2\times 50=100$ W。$R=25$ のとき $P=10000\times 25/(625+2500)=80$ W、$R=100$ のとき $P=10^6/12500=80$ W で、どちらも 100 W より小さい。