電磁気と交流の問題

相互インダクタンス $M$ を求めてから、$V_2=-M\frac{\Delta I_1}{\Delta t}$ を使う。

1. 一次コイルがつくる磁場と磁束

一次コイルは長さ $l$ に $N_1$ 回巻かれているので、単位長さあたりの巻数は $n_1=\frac{N_1}{l}$ である。一次電流が $I_1$ のとき、鉄心内の磁場は（真空の透磁率 ${\mu }_0$ の代わりに鉄心の透磁率 $\mu$ を使って）
$$B=\mu n_1{I}_1=\frac{\mu N_1{I}_1}{l}$$
であり、鉄心を貫く磁束は
$$\Phi =BS=\frac{\mu N_{1}S}{l}{I}_1$$
となる。なお、電流が最大の $0.40\mathrm{A}$ のときでも $B=\frac{(1.0\times 10^{-3})\times 400\times 0.40}{0.20}=0.80\mathrm{T}$ で、鉄心として無理のない大きさである。

2. 相互インダクタンス

この磁束はすべて二次コイルの $N_2$ 回の巻線を貫くので、二次コイルの誘導起電力はファラデーの電磁誘導の法則より
$$V_2=-N_2\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=-\frac{\mu N_1{N}_{2}S}{l}\cdot \frac{\Delta I_1}{\Delta t}$$
となる。これを $V_2=-M\frac{\Delta I_1}{\Delta t}$ と比べると、相互インダクタンスは
$$M=\frac{\mu N_1{N}_{2}S}{l}=\frac{(1.0\times 10^{-3})\times 400\times 100\times (4.0\times 10^{-4})}{0.20}$$
分子は $1.0\times 10^{-3}\times 4.0\times 10^4\times 4.0\times 10^{-4}=1.6\times 10^{-2}$ なので
$$M=\frac{1.6\times 10^{-2}}{0.20}=8.0\times 10^{-2}\mathrm{H}$$

3. 二次コイルの誘導起電力

一次電流は一定の割合で変化するので、その変化率は
$$\frac{\Delta I_1}{\Delta t}=\frac{0.40-0}{0.020}=20A/s$$
よって誘導起電力の大きさは
$$|V_2|=M\frac{\Delta I_1}{\Delta t}=8.0\times 10^{-2}\times 20=1.6\mathrm{V}$$

答え: $1.6$ V

一次コイルの単位長さあたりの巻数は $n_1=N_1/l=400/0.20=2.0\times 10^3{\mathrm{m}}^{-1}$。
鉄心内の磁場の強さは $H=n_{1}I$、磁束密度は $B=\mu n_{1}I$。
磁束は $\Phi =BS=\mu n_{1}SI$。
電流の変化率は $\Delta I/\Delta t=0.40/0.020=20A/s$。
二次コイルの誘導起電力の大きさは
$V=N_2\left|\Delta \Phi /\Delta t\right|=N_2\mu n_{1}S\Delta I/\Delta t$。
数値を代入すると
$V=100\times 1.0\times 10^{-3}\times 2.0\times 10^3\times 4.0\times 10^{-4}\times 20$。
$100\times 1.0\times 10^{-3}=0.10$、$0.10\times 2.0\times 10^3=200$、$200\times 4.0\times 10^{-4}=0.080$、$0.080\times 20=1.6$。
よって $V=1.6\mathrm{V}$。
検算：相互インダクタンスは $M=\mu N_1{N}_{2}S/l=1.0\times 10^{-3}\times 400\times 100\times 4.0\times 10^{-4}/0.20=0.080\mathrm{H}$。$V=M\Delta I/\Delta t=0.080\times 20=1.6\mathrm{V}$。一致する。