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電磁気と交流の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理電磁気と交流

コイルを電源と可変抵抗に直列につなぎ、コイルに $2.0 A$ の電流を流しておいた。次に、可変抵抗の値を変えて、コイルに流れる電流を $2.0 A$ から $0 A$ まで、 $0.050 s$ の間に一定の割合で減少させた。このとき、コイルに生じた自己誘導起電力の大きさは $6.0 V$ であった。

電流を減少させる前（電流が $2.0 A$ のとき）にコイルに蓄えられていたエネルギーは何 J か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、コイルの自己インダクタンスは一定とする。

電源可変抵抗コイル

この問題で使うもの

自己誘導とコイルのエネルギー（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（53 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

自己誘導の技能を使います。まず自己誘導起電力の式 $V = - L \frac{Δ I}{Δ t}$ から自己インダクタンス $L$ を求め、次にコイルのエネルギーの式 $U = \frac{1}{2} L I^{2}$ を使います。

ヒント 2

起電力の大きさは $∣ V ∣ = L \frac{∣Δ I ∣}{Δ t}$ です。 $∣Δ I ∣ = 2.0 A$ 、 $Δ t = 0.050 s$ を代入しましょう。

ヒント 3

$6.0 = L \times \frac{2.0}{0.050}$ より $L = 0.15 H$ です。これと $I = 2.0 A$ を $U = \frac{1}{2} L I^{2}$ に代入します。

答えと解説

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0.30

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手順 1：自己誘導起電力の式から自己インダクタンス $L$ を求める。

自己誘導起電力は
$V = - L \frac{Δ I}{Δ t}$
で表される。電流の変化は $Δ I = 0 - 2.0 = - 2.0 A$ 、時間は $Δ t = 0.050 s$ である。起電力の大きさだけを考えると
$∣ V ∣ = L \frac{∣Δ I ∣}{Δ t}$
より
$6.0 = L \times \frac{2.0}{0.050} = L \times 40$
$L = \frac{6.0}{40} = 0.15 H$

（なお、電流が減少するので、自己誘導起電力は電流の減少を妨げる向き、つまりもとの電流と同じ向きに電流を流そうとする向きに生じる。）

手順 2：コイルのエネルギーの式を使う。

電流 $I$ が流れている自己インダクタンス $L$ のコイルに蓄えられるエネルギーは
$U = \frac{1}{2} L I^{2}$
である。 $L = 0.15 H$ 、 $I = 2.0 A$ を代入して
$U = \frac{1}{2} \times 0.15 \times (2.0)^{2} = \frac{1}{2} \times 0.15 \times 4.0 = 0.30 J$

よって、答えは $0.30 J$ である。

別解

自己誘導起電力の大きさ $∣ V ∣ = L \frac{Δ I}{Δ t}$ より、電流の変化率は $\frac{2.0}{0.050} = 40 A/s$ 。よって $L = \frac{6.0}{40} = 0.15 H$ 。
蓄えられるエネルギーは $U = \frac{1}{2} L I^{2} = \frac{1}{2} \times 0.15 \times (2.0)^{2} = 0.30 J$ 。
検算： $U = \frac{1}{2} L I^{2}$ に $L = V Δ t /Δ I$ を代入すると $U = \frac{1}{2} \times 6.0 \times 0.050 \times 2.0 = 0.30$ で一致する。

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