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プラズマ物理の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理プラズマ物理

地上から電離層に向けて電波を斜めに送り、電離層で反射させて遠くと通信する。電離層を、高さ $z$ だけに依存する電子密度 $n (z)$ をもつ水平な層状の冷たいプラズマとみなす。 $n (z)$ は電離層の下端（ $n = 0$ ）から上へ向かって単調に増え、最大値 $n_{m a x} = 1.0 \times 1 0^{12} m^{- 3}$ に達する。電離層より下は真空とみなす。

地磁気・衝突・イオンの運動・地球の曲率は無視し、角振動数 $ω$ の電磁波に対するプラズマの屈折率は
$N = 1 - \frac{ω _{p}^{2}}{ω ^{2}}, ω_{p} = \frac{n e ^{2}}{ε _{0} m _{e}}$
で与えられるものとする。電気素量 $e = 1.60 \times 1 0^{- 19} C$ 、電子の質量 $m_{e} = 9.11 \times 1 0^{- 31} kg$ 、真空の誘電率 $ε_{0} = 8.85 \times 1 0^{- 12} F/m$ とし、 $π = 3.14$ とする。

電波を鉛直方向と $6 0^{\circ}$ の角をなす向きに入射させるとき、電離層で反射されて地上に戻る電波の周波数 $f = ω / (2 π)$ の最大値は何 $MHz$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

この問題で使うもの

密度が変化するプラズマでの電磁波の反射（説明と入口の問題）
電磁波の遮断と遮断密度（説明と入口の問題）
屈折の法則と屈折率（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（182 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

水平な層状媒質では $N sin θ$ が一定に保たれる（スネルの法則）。電波が水平に進む向きになる高さで反射する。

ヒント 2

反射点では $N = sin θ_{0}$ なので $ω_{p} = ω cos θ_{0}$ 。この条件を満たす高さが層の中にあれば反射される。

ヒント 3

反射される最大の周波数は $f_{p, m a x} / cos 6 0^{\circ} = 2 f_{p, m a x}$ 。 $ω_{p, m a x}^{2} = \frac{n _{m a x} e ^{2}}{ε _{0} m _{e}} \approx 3.2 \times 1 0^{15} s^{- 2}$ を使って計算する。

答えと解説

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18

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解説を読む

反射の条件
媒質は水平な層状なので、各高さの境界で屈折の法則（スネルの法則）が成り立ち、電波の進む向きと鉛直方向のなす角 $θ (z)$ について
$N (z) sin θ (z) = sin θ_{0} (θ_{0} = 6 0^{\circ}, 真空では N = 1)$
が一定に保たれる。電波が上昇をやめて折り返すのは $θ = 9 0^{\circ}$ となる高さで、そこでは $N = sin θ_{0}$ 。すなわち
$1 - \frac{ω _{p}^{2}}{ω ^{2}} = sin^{2} θ_{0} ⟹ ω_{p} = ω cos θ_{0}$
となる高さで反射する。このような高さが層の中にあるためには $ω cos θ_{0} \leq ω_{p, m a x}$ 、すなわち
$ω \leq \frac{ω _{p, m a x}}{cos θ _{0}}$
が必要である（ $ω_{p, m a x}$ は $n_{m a x}$ に対するプラズマ角振動数）。 $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ なので $f_{m a x} = 2 f_{p, m a x}$ である。

プラズマ振動数の計算
$ω_{p, m a x}^{2} = \frac{n _{m a x} e ^{2}}{ε _{0} m _{e}} = \frac{1.0 \times 1 0 ^{12} \times ( 1.60 \times 1 0 ^{- 19} ) ^{2}}{8.85 \times 1 0 ^{- 12} \times 9.11 \times 1 0 ^{- 31}} = \frac{2.56 \times 1 0 ^{- 26}}{8.062 \times 1 0 ^{- 42}} \approx 3.175 \times 1 0^{15} s^{- 2}$
$ω_{p, m a x} \approx 5.635 \times 1 0^{7} rad/s$
$f_{p, m a x} = \frac{ω _{p, m a x}}{2 π} = \frac{5.635 \times 1 0 ^{7}}{6.28} \approx 8.97 \times 1 0^{6} Hz$

最大周波数
$f_{m a x} = 2 f_{p, m a x} \approx 1.79 \times 1 0^{7} Hz \approx 18 MHz$

よって有効数字 2 桁で $18$ MHz である。

別解

水平な層状媒質なので、スネルの法則より $N (z) sin θ (z) = sin θ_{0}$ が保たれる（真空では $N = 1$ 、入射角 $θ_{0} = 6 0^{\circ}$ ）。電波が進行方向を水平にして反射される点では $sin θ = 1$ なので $N = sin θ_{0}$ 。
そこで $N^{2} = 1 - ω_{p}^{2} / ω^{2} = sin^{2} θ_{0}$ より $ω_{p}^{2} = ω^{2} cos^{2} θ_{0}$ 。
$n (z)$ は上へ向かって単調増加し最大値 $n_{m a x}$ をもつので、反射されるには $ω_{p}^{2} (n_{m a x}) \geq ω^{2} cos^{2} θ_{0}$ が必要。したがって $ω \leq ω_{p, m a x} / cos θ_{0}$ 、周波数の最大値は $f_{m a x} = f_{p, m a x} / cos 6 0^{\circ} = 2 f_{p, m a x}$ 。
$ω_{p, m a x}^{2} = \frac{n _{m a x} e ^{2}}{ε _{0} m _{e}} = \frac{1.0 \times 1 0 ^{12} \times ( 1.60 \times 1 0 ^{- 19} ) ^{2}}{8.85 \times 1 0 ^{- 12} \times 9.11 \times 1 0 ^{- 31}} = \frac{2.56 \times 1 0 ^{- 26}}{8.062 \times 1 0 ^{- 42}} = 3.175 \times 1 0^{15}$ 。
$ω_{p, m a x} = 5.635 \times 1 0^{7} rad/s$ 、 $f_{p, m a x} = ω_{p, m a x} / (2 π) = 5.635 \times 1 0^{7} /6.28 = 8.97 \times 1 0^{6}$ Hz。
$f_{m a x} = 2 \times 8.97 MHz = 17.9 \dots \approx 18$ MHz（有効数字 2 桁）。
確認: $f = 17.95$ MHz のとき $ω = 1.128 \times 1 0^{8}$ 、 $ω_{p}^{2} / ω^{2} = 3.175 \times 1 0^{15} /1.272 \times 1 0^{16} = 0.2496 \approx \frac{1}{4} = cos^{2} 6 0^{\circ}$ となり条件を満たす。

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