分散関係と群速度

十分に深い水の表面を伝わる波（深水波）の角振動数 $\omega$ と波数 $k$ のあいだには、重力加速度の大きさを $g$ として、分散関係

$$\omega =\sqrt{gk}(k>0)$$

が成り立つとする（表面張力は無視する）。位相速度を $v_p=\frac{\omega }{k}$、群速度を $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ とするとき、比 $\frac{v_g}{v_p}$ を求めよ。

一様な電離気体（プラズマ）の中を伝わる電磁波は、角振動数 $\omega$ と波数 $k$（$k>0$）の間に分散関係
$${\omega }^2={\omega }_p^2+c^2{k}^2$$
を満たす。ここで $c$ は真空中の光速、${\omega }_p>0$ はプラズマ角振動数とよばれる定数である（$\omega >0$ とする）。

角振動数 $\omega =2{\omega }_p$ の電磁波の波束がこのプラズマ中を進むとき、その群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ を $c$ を用いて表せ。

十分に深い海の表面を伝わる微小振幅の重力波（表面張力は無視する）は、角振動数 $\omega >0$ と波数 $k>0$ の間に分散関係
$${\omega }^2=gk$$
を満たす。ここで $g$ は重力加速度の大きさである。

沖合の嵐の領域で発生したうねり（周期 $\tau$ の成分がそろった波束）が、海面に沿って一直線に距離 $D$ だけ離れた海岸に向かって進む。波束のエネルギー（波束の包絡線）は群速度で伝わるものとし、途中で海の深さや風の影響は変わらないとする（$\tau >0$, $D>0$）。周期 $\tau$ の成分の波束が、嵐の領域から海岸に届くまでにかかる時間を、$g,\tau ,D$ を用いて表せ。

質量 $M$ の同じ原子が、直線上に間隔 $a$ で無限に並んでいる（$M>0$, $a>0$）。隣り合う原子どうしだけが、ばね定数 $K(K>0)$ の軽いばねでつながれており、原子は直線に沿った方向にだけ微小振動する。$n$ 番目の原子のつり合いの位置からの変位を $u_n$ とすると、運動方程式は
$$M{\ddot{u}}_n=K(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1})(n\text{ は整数})$$
である。

この格子を伝わる波 $u_n=A\cos (kna-\omega t)$（$A\ne 0$, $\omega >0$）を考える。波数が $k=\frac{\pi }{2a}$ のときの、群速度 $v_{\mathrm{g}}=\frac{d\omega }{dk}$ と位相速度 $v_{\mathrm{p}}=\frac{\omega }{k}$ の比 $\frac{v_{\mathrm{g}}}{v_{\mathrm{p}}}$ を求めよ。

磁場のない一様な冷たいプラズマがあり、電子密度は $n_e=1.00\times 10^{18}{\mathrm{m}}^{-3}$ である。このプラズマの中を、周波数 $f=15.0\mathrm{GHz}$ のマイクロ波（横波の電磁波）が伝わる。マイクロ波の群速度の大きさを $m/s$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、イオンは重いので動かないとし、電子の熱運動と衝突は無視する。電気素量 $e=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$、電子の質量 $m_e=9.11\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、真空の誘電率 ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$、真空中の光速 $c=3.00\times 10^{8}m/s$、$\pi =3.1416$ とする。

磁場のない一様な冷たい電子プラズマが、厚さ $L=0.30\text{m}$ の平板状の領域を満たしている。電子密度は $n=1.0\times 10^{18}{\text{m}}^{-3}$ である。イオンは動かない一様な正電荷の背景とみなし、衝突は無視する。

このプラズマ板に、周波数 $f=15\text{GHz}$ の電磁波のパルス（狭い周波数幅の波束）を板の面に垂直に入射させる。パルスはプラズマの中を群速度で進むものとし、板の境界での反射は考えない。

パルスがプラズマ板を通り抜けるのにかかる時間は、同じ厚さの真空を通り抜ける時間より $\Delta t$ だけ長い。$\Delta t$ を ns 単位で、有効数字 2 桁で求めよ。

電気素量 $e=1.60\times 10^{-19}\text{C}$、電子の質量 $m=9.11\times 10^{-31}\text{kg}$、真空の誘電率 ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}\text{F/m}$、真空中の光速 $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とし、SI 単位系を用いる。

線密度 $\mu$、張力 $T$ で張られた十分に長い弦を考える（$\mu >0$, $T>0$）。この弦は曲げに対するかたさをもち、その大きさを表す定数を $\kappa >0$ とする。弦の微小な横変位 $y(x,t)$ は次の方程式に従う。
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}-\kappa \frac{{\partial }^{4}y}{\partial x^4}$$
この弦を、正弦波 $y=A\cos (kx-\omega t)$（$A\ne 0$, 波数 $k>0$, 角振動数 $\omega >0$）が伝わる。波数が $k=\sqrt{\frac{T}{\kappa }}$ のときの群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ を、$T$, $\mu$ を用いて表せ。

質量 $m$ の等しい質点が、ばね定数 $K$ の等しいばねで一直線上に無限に並んでつながれている（1 次元の単原子格子、$m>0$, $K>0$）。つり合いの位置での隣り合う質点の間隔は $a$（$a>0$）である。$n$ 番目の質点のつり合いの位置からの変位を $u_n(t)$ とすると、運動方程式は
$$m\frac{d^2{u}_n}{d{t}^2}=K\left(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}\right)$$
である。

この格子を伝わる波 $u_n(t)=A\cos (kna-\omega t)$（$A\ne 0$、$\omega >0$、波数 $k$ は $0<k\le \pi /a$）を考える。波長が $3a$ の波について、群速度 $v_g$ と位相速度 $v_p$ の比 $\frac{v_g}{v_p}$ を求めよ。答えは根号と $\pi$ を用いた正確な値で答えよ。

弾性床の上に置かれた十分に長い一様な梁（鉄道のレールのモデル）を考える。梁は $x$ 軸に沿って置かれており、梁の単位長さあたりの質量を $\mu$、曲げ剛性を $D$ とする。梁の下の弾性床は、梁の単位長さあたりばね定数 $\kappa$ のばねとしてはたらく（$\mu >0$, $D>0$, $\kappa >0$）。梁の鉛直方向の微小変位 $u(x,t)$ は、方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=-D\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}-\kappa u$$
に従うものとする（減衰と重力によるつり合いの位置からのずれは考えない）。

この梁を伝わる正弦波 $u=A\cos (kx-\omega t)$（$k>0$, $\omega >0$）について、位相速度 $\omega /k$ は $k$ のある値で最小になる。その波数での群速度 $\frac{d\omega }{dk}$ を $\mu$, $D$, $\kappa$ を用いて表せ。

水平で平らな底をもつ、一様な深さ $h$ の水の表面を伝わる微小振幅の重力波（表面張力は無視する）は、角振動数 $\omega >0$ と波数 $k>0$ の間に分散関係
$${\omega }^2=gk\tanh (kh)$$
を満たす。ここで $g$ は重力加速度の大きさである。

波数が $kh=\log 2$ を満たす波について、群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ と位相速度 $v_p=\frac{\omega }{k}$ の比 $\frac{v_g}{v_p}$ を求めよ。答えは $\log 2$ を含む正確な形で表せ。

質量 $M$ の同じ原子が直線上に間隔 $a$ で無限に並んだ 1 次元格子を考える。原子は直線に沿った方向にだけ動き、隣り合う原子どうし（距離 $a$）はばね定数 $K$ のばねで、1 つおいて隣の原子どうし（距離 $2a$）も同じばね定数 $K$ のばねでつながれているとみなす（調和近似）。$n$ 番目の原子のつり合いの位置からの変位を $u_n$ とし、$u_n\propto e^{i(kna-\omega t)}$ の形の格子波（波数 $k$、角振動数 $\omega >0$）を考える。

$0<k<\frac{\pi }{a}$ の範囲で、この格子波の群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ が $0$ になる波数 $k$ を、$a$ を用いて表せ。