振動・波動の問題

線密度 $\mu$、張力 $T$ で張られた十分に長い弦を考える（$\mu >0$, $T>0$）。この弦は曲げに対するかたさをもち、その大きさを表す定数を $\kappa >0$ とする。弦の微小な横変位 $y(x,t)$ は次の方程式に従う。
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}-\kappa \frac{{\partial }^{4}y}{\partial x^4}$$
この弦を、正弦波 $y=A\cos (kx-\omega t)$（$A\ne 0$, 波数 $k>0$, 角振動数 $\omega >0$）が伝わる。波数が $k=\sqrt{\frac{T}{\kappa }}$ のときの群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ を、$T$, $\mu$ を用いて表せ。

$xy$ 平面上の長方形 $0\le x\le 2a$, $0\le y\le a$（$a>0$）に、面密度 $\sigma$ の一様な膜が、単位長さあたり $S$ の一様な張力で張られている。膜の周囲（長方形の 4 辺）は固定されている。膜の面に垂直な微小変位 $u(x,y,t)$ は波動方程式
$$\sigma \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=S\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)$$
に従う。

この膜の基準振動は、正の整数の組 $(m,n)$ で $u=\sin \frac{m\pi x}{2a}\sin \frac{n\pi y}{a}\cos ({\omega }_{mn}t+\delta )$ と表され、異なる組 $(m,n)$ は異なる基準振動とみなす。角振動数 ${\omega }_{mn}$ が、最も低い角振動数の $3$ 倍より小さい（$3$ 倍に等しいものは含めない）基準振動はいくつあるか。

面密度 $\rho$ の一様な膜が、単位長さあたりの張力 $\sigma$ で一様に張られ、長方形 $0\le x\le 2a$, $0\le y\le a$（$a>0$）の周の上で固定されている。膜の面に垂直な微小変位 $u(x,y,t)$ は、波動方程式
$$\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\sigma \left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)$$
に従い、境界条件は周の上で $u=0$ である。

この膜の基準振動（$u$ が $f(x,y)\cos (\omega t+\varphi )$ の形に書ける振動、$\omega >0$）の振動数を小さい順に調べるとき、空間的な形 $f(x,y)$ が 1 次独立な 2 つ以上の基準振動が同じ振動数をもつ（縮退する）振動数のうち最も小さいものを ${\nu }_{\ast }$ とする。最も低い基準振動の振動数（基本振動数）を ${\nu }_1$ とするとき、比 ${\nu }_{\ast }/{\nu }_1$ を求めよ。

水平な床の上に、質量 $m$ の物体がばね定数 $k$ のばねで板 P につながれている。板 P は外部の装置によって、ばねの方向に $X(t)=X_0\cos \omega t$（$X_0>0$, $\omega >0$）と強制的に動かされる。床に固定した座標で、物体のつり合いの位置（$X=0$ のとき）からの変位を $x$ とし、ばねの伸びは $x-X$ で表されるものとする。物体には床に対する速度に比例する抵抗力 $-b\dot{x}$（$b>0$）がはたらき、それ以外の摩擦は無視できる。ばねの質量は無視でき、ばねはフックの法則に従う。

十分に時間がたって定常状態になったとき、抵抗力が物体から奪う仕事率の時間平均（1 周期の平均）を $\overline{P}(\omega )$ とする。$\overline{P}(\omega )$ は、$\omega$ を変えたときの最大値の半分になる $\omega$ が 2 つある。その 2 つの $\omega$ を $m,k,b$ を用いて表せ。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦が、張力 $T$ で $x$ 軸に沿って張られている（$L>0$, $\mu >0$, $T>0$）。弦の端 $x=0$ は壁に固定されている。もう一方の端 $x=L$ には質量の無視できる小さな輪が付いており、この輪は $x=L$ に鉛直に立てたなめらかな棒に沿って $y$ 方向にだけ自由に動ける。弦の横変位 $y(x,t)$ は微小で、波動方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}(0<x<L)$$
に従うものとし、重力・空気抵抗は無視する。

時刻 $t=0$ に弦を
$$y(x,0)=A{\sin }^3\frac{\pi x}{2L}(0\le x\le L)$$
の形にして静かに放した（$A>0$ は定数で、変位は十分小さい。すべての点の初速度は $0$）。$t\ge 0$ における輪の変位 $y(L,t)$ を、$A$, $L$, $\mu$, $T$, $t$ を用いて表せ。