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振動・波動の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理振動・波動

水平な床の上に、質量 $m$ の物体がばね定数 $k$ のばねで板 P につながれている。板 P は外部の装置によって、ばねの方向に $X (t) = X_{0} cos ω t$ （ $X_{0} > 0$ , $ω > 0$ ）と強制的に動かされる。床に固定した座標で、物体のつり合いの位置（ $X = 0$ のとき）からの変位を $x$ とし、ばねの伸びは $x - X$ で表されるものとする。物体には床に対する速度に比例する抵抗力 $- b x ˙$ （ $b > 0$ ）がはたらき、それ以外の摩擦は無視できる。ばねの質量は無視でき、ばねはフックの法則に従う。

十分に時間がたって定常状態になったとき、抵抗力が物体から奪う仕事率の時間平均（1 周期の平均）を $P (ω)$ とする。 $P (ω)$ は、 $ω$ を変えたときの最大値の半分になる $ω$ が 2 つある。その 2 つの $ω$ を $m, k, b$ を用いて表せ。

k

m

X_{0} cos ω t

x

板 P はばねの方向に往復運動させられる（抵抗力

- b x ˙

は図に描いていない）

この問題で使うもの

強制振動の定常解（説明と入口の問題）
共振と Q 値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（78 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ばねの伸びが $x - X_{0} cos ω t$ であることに注意して運動方程式を立てると、ふつうの強制振動の式 $m x ¨ + b x ˙ + k x = (外力)$ の形になります。

ヒント 2

定常状態の振幅は $A = \frac{k X _{0}}{( k - m ω ^{2} ) ^{2} + b ^{2} ω ^{2}}$ です。抵抗力が奪う仕事率は $b x ˙^{2}$ なので、時間平均は $\frac{1}{2} b ω^{2} A^{2}$ になります。

ヒント 3

$P (ω) = \frac{k ^{2} X _{0}^{2}}{2} \cdot \frac{b}{{( k - m ω ^{2} ) / ω } ^{2} + b ^{2}}$ と変形すると、最大値と、それが半分になる条件 $(k - m ω^{2})^{2} = b^{2} ω^{2}$ が読み取れます。

答えと解説

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{\frac{- b + b ^{2} + 4 mk}{2 m}, \frac{b + b ^{2} + 4 mk}{2 m}}

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解説を読む

運動方程式. ばねの伸びは $x - X$ なので、フックの法則と抵抗力から
$m x ¨ = - k (x - X_{0} cos ω t) - b x ˙ ∴ m x ¨ + b x ˙ + k x = k X_{0} cos ω t$
となり、物体は振幅 $k X_{0}$ の周期的な外力を受ける強制振動になる。

定常解. 抵抗があるので、初期条件で決まる減衰振動の部分は十分時間がたつと $0$ になり、定常状態では $x = A cos (ω t - δ)$ と書ける。複素数 $x = A ~ e^{iω t}$ を代入すると $(k - m ω^{2} + ibω) A ~ = k X_{0}$ より
$A = ∣ A ~ ∣ = \frac{k X _{0}}{( k - m ω ^{2} ) ^{2} + b ^{2} ω ^{2}}$

仕事率の時間平均. 抵抗力が奪う仕事率は $b x ˙^{2}$ で、 $x ˙ = - A ω sin (ω t - δ)$ なので、 $sin^{2} = \frac{1}{2}$ より
$P (ω) = \frac{1}{2} b ω^{2} A^{2} = \frac{b k ^{2} X _{0}^{2}}{2} \cdot \frac{ω ^{2}}{( k - m ω ^{2} ) ^{2} + b ^{2} ω ^{2}} = \frac{k ^{2} X _{0}^{2}}{2} \cdot \frac{b}{( \frac{k - m ω ^{2}}{ω} ) ^{2} + b ^{2}}$

最大値. 最後の式の分母は $(\frac{k - m ω ^{2}}{ω})^{2} \geq 0$ なので、 $k = m ω^{2}$ 、すなわち $ω = k / m$ のとき最大で
$P_{m a x} = \frac{k ^{2} X _{0}^{2}}{2 b}$

半値になる $ω$ . $P = \frac{1}{2} P_{m a x}$ は
$\frac{b}{( \frac{k - m ω ^{2}}{ω} ) ^{2} + b ^{2}} = \frac{1}{2 b} ⟺ (\frac{k - m ω ^{2}}{ω})^{2} = b^{2} ⟺ k - m ω^{2} = \pm bω$
- $k - m ω^{2} = bω$ : $m ω^{2} + bω - k = 0$ 、 $ω > 0$ の解は $ω = \frac{- b + b ^{2} + 4 mk}{2 m}$
- $k - m ω^{2} = - bω$ : $m ω^{2} - bω - k = 0$ 、 $ω > 0$ の解は $ω = \frac{b + b ^{2} + 4 mk}{2 m}$

よって求める $ω$ は
$\frac{- b + b ^{2} + 4 mk}{2 m}, \frac{b + b ^{2} + 4 mk}{2 m}$
（2 つの差は $b / m$ で、これが共振の半値幅である。）

別解

運動方程式： $m x ¨ = - k (x - X) - b x ˙$ 、すなわち $m x ¨ + b x ˙ + k x = k X_{0} cos ω t$ 。定常解の振幅は $A = \frac{k X _{0}}{( k - m ω ^{2} ) ^{2} + b ^{2} ω ^{2}}$ 。抵抗力が物体から奪う仕事率の時間平均は $P = b x ˙^{2} = \frac{1}{2} b ω^{2} A^{2} = \frac{b k ^{2} X _{0}^{2}}{2} \cdot \frac{ω ^{2}}{( k - m ω ^{2} ) ^{2} + b ^{2} ω ^{2}} = \frac{b k ^{2} X _{0}^{2}}{2} \cdot \frac{1}{( \frac{k}{ω} - mω ) ^{2} + b ^{2}}$ 。最大は $\frac{k}{ω} - mω = 0$ 、すなわち $ω = k / m$ のときで値は $\frac{k ^{2} X _{0}^{2}}{2 b}$ 。半分になるのは $(\frac{k}{ω} - mω)^{2} = b^{2}$ 、すなわち $m ω^{2} \pm bω - k = 0$ 。正の解は $ω = \frac{b ^{2} + 4 mk \mp b}{2 m}$ 。すなわち $ω = \frac{b ^{2} + 4 mk - b}{2 m}$ と $ω = \frac{b ^{2} + 4 mk + b}{2 m}$ 。検算：2 解の積は $\frac{( b ^{2} + 4 mk ) - b ^{2}}{4 m ^{2}} = \frac{k}{m} = ω_{0}^{2}$ 、差は $\frac{b}{m}$ （半値全幅）で標準的な共振曲線に一致する。

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