共振と Q 値

強制振動の振幅が最大になる角振動数 $ω_{r} = ω_{0}^{2} - 2 γ^{2}$ と最大振幅、静的な変位との比、吸収される仕事率が最大になる条件と半値幅・Q 値 $Q \approx ω_{0} /2 γ$ を求め、減衰振動の測定値から共振の角振動数を求められる

前提

強制振動の定常解（大学物理振動・波動）
区間での最大・最小（数学II 微分法と積分法）

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算数中学高校大学大学院

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強制振動の定常解（大学物理振動・波動）
区間での最大・最小（数学II 微分法と積分法）

説明

減衰のある振動子を周期的な外力で揺さぶると、外力の角振動数 $ω$ がある値に近いときだけ大きく揺れます（共振）。この技能では、強制振動の定常振幅 $A (ω)$ が最大になる角振動数 $ω_{r} = ω_{0}^{2} - 2 γ^{2}$ とそのときの振幅、外力をゆっくり（ $ω \to 0$ ）加えたときの変位との比を求めます。また、振動子が外力から吸収する平均の仕事率が最大になる条件、その山の幅（半値幅） $Δ ω = 2 γ$ と、共振の鋭さを表す Q 値 $Q = \frac{ω _{0}}{2 γ}$ を求めます。減衰振動の測定から $γ$ と $ω_{0}$ を求め、共振の角振動数を予想することにも使えます。

なぜそうしてよいのか

定常振幅は $A (ω) = \frac{F _{0} / m}{D ( ω )}$ 、 $D = (ω_{0}^{2} - ω^{2})^{2} + 4 γ^{2} ω^{2}$ です。 $A$ を最大にするには $D$ を最小にすればよく、 $D$ は $u = ω^{2} (u \geq 0)$ の 2 次関数 $D = (ω_{0}^{2} - u)^{2} + 4 γ^{2} u$ です。 $u$ で微分すると $\frac{d D}{d u} = - 2 (ω_{0}^{2} - u) + 4 γ^{2}$ で、これが $0$ になるのは $u = ω_{0}^{2} - 2 γ^{2}$ のときです。 $ω_{0}^{2} > 2 γ^{2}$ ならこの $u$ は区間 $u > 0$ の中にあり、 $D$ はそこで最小になるので $ω_{r} = ω_{0}^{2} - 2 γ^{2}$ です。このとき $D = 4 γ^{4} + 4 γ^{2} (ω_{0}^{2} - 2 γ^{2}) = 4 γ^{2} (ω_{0}^{2} - γ^{2})$ なので最大振幅は $A_{m a x} = \frac{F _{0} / m}{2 γ ω _{0}^{2} - γ ^{2}}$ です。一方 $ω_{0}^{2} \leq 2 γ^{2}$ なら $u \geq 0$ で $\frac{d D}{d u} \geq 0$ なので $D$ は増加し、振幅は $ω = 0$ で最大（山がない）になります。外力を静かに加えたときの変位は $A (0) = \frac{F _{0}}{m ω _{0}^{2}} = \frac{F _{0}}{k}$ なので、共振で振幅は $\frac{A _{m a x}}{A ( 0 )} = \frac{ω _{0}^{2}}{2 γ ω _{0}^{2} - γ ^{2}}$ 倍になり、 $γ ≪ ω_{0}$ なら約 $\frac{ω _{0}}{2 γ}$ 倍です。

次に、外力が 1 周期の間にする仕事の平均（吸収される仕事率）を考えます。 $x = A cos (ω t - δ)$ のとき速度は $- ω A sin (ω t - δ)$ で、 $F_{0} cos ω t$ との積を加法定理で展開して 1 周期で平均すると（ $cos^{2}$ の平均は $\frac{1}{2}$ 、 $sin cos$ の平均は $0$ ） $P ˉ = \frac{1}{2} F_{0} ω A sin δ$ です。 $sin δ = \frac{2 γ ω}{D}$ を使うと
$P ˉ (ω) = \frac{F _{0}^{2} γ}{m} \cdot \frac{ω ^{2}}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + 4 γ ^{2} ω ^{2}} = \frac{F _{0}^{2} γ}{m} \cdot \frac{1}{( \frac{ω _{0}^{2} - ω ^{2}}{ω} ) ^{2} + 4 γ ^{2}}$
となります。分母は $ω = ω_{0}$ のとき最小なので、仕事率はちょうど $ω = ω_{0}$ で最大値 $\frac{F _{0}^{2}}{4 mγ}$ をとります（振幅の最大 $ω_{r}$ とは少しずれます）。

仕事率が最大値の半分になるのは $(\frac{ω _{0}^{2} - ω ^{2}}{ω})^{2} = 4 γ^{2}$ 、つまり $ω^{2} \pm 2 γ ω - ω_{0}^{2} = 0$ のときで、正の解は $ω_{\pm} = ω_{0}^{2} + γ^{2} \pm γ$ です。その差（半値幅）は $Δ ω = ω_{+} - ω_{-} = 2 γ$ で、減衰が小さいほど山が鋭くなります。共振の鋭さを $Q = \frac{ω _{0}}{Δ ω} = \frac{ω _{0}}{2 γ}$ と定めたものが Q 値で、 $γ ≪ ω_{0}$ では振幅の拡大率 $\frac{A _{m a x}}{A ( 0 )}$ ともほぼ等しくなります。

手順

運動方程式 $m x ¨ + b x ˙ + k x = F_{0} cos ω t$ から $ω_{0} = \frac{k}{m}$ 、 $γ = \frac{b}{2 m}$ を求める。減衰振動の測定値が与えられたら、 $ω_{d}$ と $γ$ から $ω_{0}^{2} = ω_{d}^{2} + γ^{2}$ とする
$ω_{0}^{2} > 2 γ^{2}$ を確かめ、振幅が最大になる角振動数 $ω_{r} = ω_{0}^{2} - 2 γ^{2}$ を求める（ $ω_{0}^{2} \leq 2 γ^{2}$ なら振幅は $ω = 0$ で最大）
必要なら最大振幅 $A_{m a x} = \frac{F _{0} / m}{2 γ ω _{0}^{2} - γ ^{2}}$ と、静的な変位 $\frac{F _{0}}{k}$ との比を計算する
吸収される仕事率は $ω = ω_{0}$ で最大 $\frac{F _{0}^{2}}{4 mγ}$ 。半値幅は $Δ ω = 2 γ$ 、Q 値は $Q = \frac{ω _{0}}{2 γ}$ で計算する

例題

質量 $m = 1 kg$ の物体が、ばね定数 $k = 9 N/m$ のばね、速度に比例する抵抗力 $- b x ˙$ （ $b = 2 kg/s$ ）、外力 $F_{0} cos ω t$ を受けて直線上を運動する。外力の角振動数 $ω$ を変えたとき、定常振動の振幅が最大になる $ω$ は何 rad/s か。根号を用いて表せ。

例題の解答

（手順 1） $ω_{0}^{2} = \frac{k}{m} = 9$ 、 $γ = \frac{b}{2 m} = 1$ 。

（手順 2） $ω_{0}^{2} = 9 > 2 γ^{2} = 2$ なので振幅に山があり、
$ω_{r} = ω_{0}^{2} - 2 γ^{2} = 9 - 2 = 7 .$

（手順 3、参考）このとき $A_{m a x} = \frac{F _{0} /1}{2 \cdot 1 \cdot 9 - 1} = \frac{F _{0}}{4 2}$ 、静的な変位は $\frac{F _{0}}{9}$ で、比は $\frac{9}{4 2} \approx 1.6$ 。

（手順 4、参考）仕事率が最大になるのは $ω = ω_{0} = 3$ 、Q 値は $\frac{3}{2}$ 。

よって $7 rad/s$ 。

答え: $7$

よくある誤り

振幅が最大になる角振動数を $ω_{0}$ や減衰振動の角振動数 $ω_{d} = ω_{0}^{2} - γ^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $D = (ω_{0}^{2} - ω^{2})^{2} + 4 γ^{2} ω^{2}$ を最小にして $ω_{r} = ω_{0}^{2} - 2 γ^{2}$ で、 $ω_{r} < ω_{d} < ω_{0}$ 。 $ω_{0}$ で最大になるのは振幅ではなく吸収される仕事率
$ω_{0}^{2} \leq 2 γ^{2}$ のときにも $ω_{r} = ω_{0}^{2} - 2 γ^{2}$ を使ってしまう誤り。正しくはこのとき根号の中が $0$ 以下で、 $D$ は $ω \geq 0$ で増加するので振幅は $ω = 0$ で最大 $\frac{F _{0}}{k}$ になり、共振の山は現れない
半値幅を振幅が最大値の半分になる幅として求めてしまう誤り。正しくは半値幅は仕事率（振幅の 2 乗に近い量）が半分になる角振動数の差で、 $Δ ω = 2 γ$ （振幅ではおよそ $\frac{1}{2}$ 倍になる点に当たる）
Q 値を $Q = \frac{ω _{0}}{γ}$ としてしまう誤り。正しくは半値幅が $2 γ$ なので $Q = \frac{ω _{0}}{Δ ω} = \frac{ω _{0}}{2 γ}$ 、 $γ = \frac{b}{2 m}$ を使えば $Q = \frac{m ω _{0}}{b} = \frac{mk}{b}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
なめらかな水平面上で、質量 $m = 2.0 kg$ の物体がばね定数 $k = 54 N/m$ のばねで壁につながれ、速度に比例する抵抗力 $- b x ˙$ （ $b = 4.0 kg/s$ ）と外力 $F_{0} cos ω t$ （ $F_{0} > 0$ は定数）を受けて、ばねの方向に一直線上を運動する。つり合いの位置からの変位を $x$ とすると、運動方程式は
$m x ¨ + b x ˙ + k x = F_{0} cos ω t$
である。外力の角振動数 $ω (> 0)$ をいろいろに変えるとき、定常状態での振動の振幅が最大になる $ω$ は何 $rad/s$ か。整数で求めよ。
$k$ $m$ $F_{0} cos ω t$

共振と Q 値

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題