振動・波動の問題

図のように、自己インダクタンス $L$ のコイル 2 個、電気容量 $C$ のコンデンサー 2 個、電気容量 $C_0$ のコンデンサー 1 個からなる回路がある（$L>0$, $C>0$, $C_0>0$）。左の閉回路は「コイル $L$、コンデンサー $C$、コンデンサー $C_0$」、右の閉回路は「コンデンサー $C_0$、コンデンサー $C$、コイル $L$」からなり、コンデンサー $C_0$ が 2 つの閉回路に共通な枝になっている。

左の閉回路を時計回りに流れる網目電流を $I_1=\frac{d{q}_1}{dt}$、右の閉回路を時計回りに流れる網目電流を $I_2=\frac{d{q}_2}{dt}$ とし、左のコンデンサー $C$ の電荷を $q_1$、右のコンデンサー $C$ の電荷を $q_2$、コンデンサー $C_0$ の電荷を $q_1-q_2$ と表す（符号の向きは網目電流の向きに合わせる）。導線とコイルの抵抗は無視し、電磁波の放射やコイルどうしの相互誘導もないものとする。

この回路の電気振動の 2 つの基準振動の角振動数を、$L$, $C$, $C_0$ を用いて、小さいほうから順に組で求めよ。

線密度 $\mu$、張力 $T$ で張られた十分に長い弦を考える（$\mu >0$, $T>0$）。この弦は曲げに対するかたさをもち、その大きさを表す定数を $\kappa >0$ とする。弦の微小な横変位 $y(x,t)$ は次の方程式に従う。
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}-\kappa \frac{{\partial }^{4}y}{\partial x^4}$$
この弦を、正弦波 $y=A\cos (kx-\omega t)$（$A\ne 0$, 波数 $k>0$, 角振動数 $\omega >0$）が伝わる。波数が $k=\sqrt{\frac{T}{\kappa }}$ のときの群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ を、$T$, $\mu$ を用いて表せ。

水平な床の上で、質量 $m=0.50\mathrm{kg}$ の物体がばね定数 $k=50N/m$ のばねで壁につながれている。物体は速度に比例する抵抗力 $-b\dot{x}$（$b=3.0kg/s$）を受け、さらに水平方向の外力 $F_0\cos \omega t$（$F_0=2.0\mathrm{N}$, $\omega =8.0rad/s$）を受けて、ばねの方向に一直線上を運動する。つり合いの位置からの変位を $x$ とすると、運動方程式は

$$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_0\cos \omega t$$

である（抵抗力以外の摩擦は無視する）。十分に時間がたったあとの定常状態での振動の振幅は何 $\mathrm{m}$ か。既約分数で求めよ。

なめらかな水平面上で、質量 $m=2.0\mathrm{kg}$ の物体がばね定数 $k=54N/m$ のばねで壁につながれ、速度に比例する抵抗力 $-b\dot{x}$（$b=4.0kg/s$）と外力 $F_0\cos \omega t$（$F_0>0$ は定数）を受けて、ばねの方向に一直線上を運動する。つり合いの位置からの変位を $x$ とすると、運動方程式は

$$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_0\cos \omega t$$

である。外力の角振動数 $\omega (>0)$ をいろいろに変えるとき、定常状態での振動の振幅が最大になる $\omega$ は何 $rad/s$ か。整数で求めよ。

質量 $m$ の等しい質点が、ばね定数 $K$ の等しいばねで一直線上に無限に並んでつながれている（1 次元の単原子格子、$m>0$, $K>0$）。つり合いの位置での隣り合う質点の間隔は $a$（$a>0$）である。$n$ 番目の質点のつり合いの位置からの変位を $u_n(t)$ とすると、運動方程式は
$$m\frac{d^2{u}_n}{d{t}^2}=K\left(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}\right)$$
である。

この格子を伝わる波 $u_n(t)=A\cos (kna-\omega t)$（$A\ne 0$、$\omega >0$、波数 $k$ は $0<k\le \pi /a$）を考える。波長が $3a$ の波について、群速度 $v_g$ と位相速度 $v_p$ の比 $\frac{v_g}{v_p}$ を求めよ。答えは根号と $\pi$ を用いた正確な値で答えよ。