振動・波動の問題

抵抗値 $R$ の抵抗、自己インダクタンス $L$ のコイル、電気容量 $C$ のコンデンサーを直列につなぎ、交流電源の電圧 $V(t)=V_0\cos \omega t$（$V_0>0$, $\omega >0$）を加える（$R>0$, $L>0$, $C>0$）。導線・コイルの抵抗や電源の内部抵抗は無視し、$R^2<\frac{2L}{C}$ が成り立つとする。

コンデンサーの電荷を $q(t)$ とすると、回路の方程式は
$$L\frac{d^{2}q}{d{t}^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=V_0\cos \omega t$$
である。十分に時間がたった定常状態で、コンデンサーの両端の電圧の振幅が最大になるときの角振動数 $\omega$ を、$R$, $L$, $C$ を用いて表せ。

なめらかな水平面上に、質量 $4m$ の小物体 A、質量 $3m$ の小物体 B、質量 $4m$ の小物体 C をこの順に一直線上に並べる。A と B、B と C を、ばね定数 $k$ の軽いばねでそれぞれつないだ（$m>0$, $k>0$）。A, B, C の外側には何もつながれていない。物体はばねの方向（直線方向）にだけ動くものとし、摩擦と空気抵抗は無視する。

この系の基準振動のうち、角振動数が $0$ でないものは 2 つある。その角振動数を大きい方から ${\omega }_{+}$、小さい方を ${\omega }_{-}$ とするとき、比 $\frac{{\omega }_{+}}{{\omega }_{-}}$ を求めよ。答えは根号を用いた正確な値で答えよ。

なめらかな水平面上で、2 つの固定された壁のあいだに、質量がともに $m$ の小物体 A, B を一直線上に並べ、左の壁と A、A と B、B と右の壁を、ばね定数がすべて $k$ の 3 本の軽いばねでつなぐ。つり合いの位置ではどのばねも自然長である。A, B のつり合いの位置からの右向きの変位をそれぞれ $x_1$, $x_2$ とし、運動はばねの方向（一直線上）に限られるとする。摩擦と空気抵抗は無視する。

この系の 2 つの基準振動の角振動数を、小さい方、大きい方の順に、$k$, $m$ を用いて求めよ。

なめらかな水平面上で、質量 $m$ の物体 A と質量 $m$ の物体 B が一直線上に並んでいる。左の壁と A がばね定数 $2k$ のばねで、A と B がばね定数 $k$ のばねでつながれており、B の右側には何もつながれていない（$m>0$, $k>0$）。つり合いの位置ではどちらのばねも自然長である。物体はばねの方向（一直線上）だけを運動し、ばねの質量と空気抵抗は無視する。

この系の 2 つの基準振動の角振動数のうち、大きい方を ${\omega }_{+}$、小さい方を ${\omega }_{-}$ とする。比 $\frac{{\omega }_{+}}{{\omega }_{-}}$ を求めよ。

同じ高さの 2 点から、長さ $l$ の軽い糸で質量 $m$ の小球をそれぞれつるし、2 つの単振り子をつくる。2 つの小球を、ばね定数 $k$ の軽いばねで水平につなぐ。2 つの振り子がともに鉛直に静止しているとき、ばねは自然長である。振り子は同じ鉛直面内で振動し、それぞれの糸が鉛直線となす角を ${\theta }_1$, ${\theta }_2$（同じ向きを正）とする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

${\theta }_1$, ${\theta }_2$ が十分小さいとして、ラグランジアンを ${\theta }_1,{\theta }_2,{\dot{\theta }}_1,{\dot{\theta }}_2$ について 2 次まで近似する。ばねの伸びは小球の水平方向の変位の差 $l({\theta }_2-{\theta }_1)$ で近似してよい。このとき、2 つの基準振動の角振動数を、小さい方、大きい方の順に $g,l,k,m$ を用いて求めよ。