強制振動の定常解

外力 $F_{0} cos ω t$ を受ける減衰振動の定常解を求め、振幅 $A (ω) = \frac{F _{0} / m}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + 4 γ ^{2} ω ^{2}}$ と外力に対する位相の遅れを計算できる

前提

減衰振動（大学物理振動・波動）
定数係数 2 階線形（非斉次）（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
減衰振動（大学物理振動・波動）
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1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
定数係数 2 階線形（非斉次）（大学数学微分方程式）

説明

ばねにつながれ速度に比例する抵抗を受ける物体に、周期的な外力 $F_{0} cos ω t$ を加え続けると、はじめの不規則な動きはやがて消え、物体は外力と同じ角振動数 $ω$ で一定の振幅の振動を続けます。これを定常解（定常振動）といいます。この技能では、その振幅 $A (ω) = \frac{F _{0} / m}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + 4 γ ^{2} ω ^{2}}$ と、変位が外力からどれだけ遅れるか（位相の遅れ $δ$ ）を求めます。共振の起こり方や、機械・建物・電気回路が外からの揺さぶりにどう応答するかを調べるときに使います。

なぜそうしてよいのか

運動方程式 $m x ¨ = - k x - b x ˙ + F_{0} cos ω t$ を $m$ で割り、 $ω_{0} = k / m$ 、 $γ = \frac{b}{2 m}$ とおくと
$x ¨ + 2 γ x ˙ + ω_{0}^{2} x = \frac{F _{0}}{m} cos ω t$
です。これは定数係数 2 階線形の非斉次方程式なので、一般解は「斉次方程式の一般解」＋「特殊解」です。 $γ > 0$ なら斉次方程式の解（減衰振動・臨界減衰・過減衰のいずれか）はどれも $t \to \infty$ で $0$ に近づくので、十分時間がたつと特殊解だけが残ります。これが定常解で、初期条件によらずに決まります。

特殊解は、オイラーの公式を使って複素数で求めると見通しがよくなります。 $cos ω t$ は $e^{iω t}$ の実部なので、まず $z ¨ + 2 γ z ˙ + ω_{0}^{2} z = \frac{F _{0}}{m} e^{iω t}$ の解を $z = A ~ e^{iω t}$ （ $A ~$ は複素定数）の形で探します。代入すると $(- ω^{2} + 2 iγ ω + ω_{0}^{2}) A ~ = \frac{F _{0}}{m}$ より
$A ~ = \frac{F _{0} / m}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) + 2 iγ ω}$
です。方程式の係数がすべて実数なので、 $z$ の実部 $x = Re z$ がもとの方程式の解になります。分母の複素数を極形式で $D e^{i δ}$ （ $D = (ω_{0}^{2} - ω^{2})^{2} + 4 γ^{2} ω^{2}$ 、 $cos δ = \frac{ω _{0}^{2} - ω ^{2}}{D}$ 、 $sin δ = \frac{2 γ ω}{D}$ ）と書くと、 $A ~ = \frac{F _{0} / m}{D} e^{- i δ}$ なので
$x = \frac{F _{0} / m}{D} cos (ω t - δ)$
となります。振幅が $A (ω) = \frac{F _{0} / m}{D}$ 、外力に対する位相の遅れが $δ$ です。

$γ > 0, ω > 0$ なら $sin δ > 0$ なので $0 < δ < π$ で、変位はいつも外力より遅れます。 $ω < ω_{0}$ では $0 < δ < \frac{π}{2}$ 、 $ω = ω_{0}$ でちょうど $δ = \frac{π}{2}$ 、 $ω > ω_{0}$ では $\frac{π}{2} < δ < π$ です。複素数を使わず、未定係数法で $x = a cos ω t + c sin ω t$ とおいて $a, c$ を求め、三角関数の合成で $A cos (ω t - δ)$ に直しても同じ結果になります。

手順

運動方程式を $m$ で割って $x ¨ + 2 γ x ˙ + ω_{0}^{2} x = \frac{F _{0}}{m} cos ω t$ の形にし、 $ω_{0}^{2} = \frac{k}{m}$ 、 $γ = \frac{b}{2 m}$ を求める
定常解を $x = A cos (ω t - δ)$ （ $A > 0$ ）とおく。外力と同じ角振動数 $ω$ で振動する
振幅を $A = \frac{F _{0} / m}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + 4 γ ^{2} ω ^{2}}$ で計算する
位相の遅れ $δ$ （ $0 < δ < π$ ）を $cos δ = \frac{ω _{0}^{2} - ω ^{2}}{D}$ 、 $sin δ = \frac{2 γ ω}{D}$ （ $D$ は手順 3 の分母の根号）から決める。 $ω \neq = ω_{0}$ なら $tan δ = \frac{2 γ ω}{ω _{0}^{2} - ω ^{2}}$ も使えるが、 $ω > ω_{0}$ では $δ$ が第 2 象限になることに注意する

例題

質量 $m = 1 kg$ の物体が、ばね定数 $k = 25 N/m$ のばねにつながれ、速度 $x ˙$ に比例する抵抗力 $- b x ˙$ （ $b = 3 kg/s$ ）と外力 $F_{0} cos ω t$ （ $F_{0} = 10 N$ 、 $ω = 4 rad/s$ ）を受けて直線上を運動する。十分時間がたった後の定常振動の振幅は何 m か。分数で求めよ。

例題の解答

（手順 1）運動方程式 $m x ¨ = - k x - b x ˙ + F_{0} cos ω t$ を $m = 1$ で割ると $x ¨ + 3 x ˙ + 25 x = 10 cos 4 t$ 。よって $ω_{0}^{2} = \frac{k}{m} = 25$ 、 $γ = \frac{b}{2 m} = \frac{3}{2}$ 。

（手順 2）定常解を $x = A cos (4 t - δ)$ とおく。

（手順 3）
$ω_{0}^{2} - ω^{2} = 25 - 16 = 9, 2 γ ω = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot 4 = 12$
より
$A = \frac{F _{0} / m}{9 ^{2} + 1 2 ^{2}} = \frac{10}{225} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} .$

（手順 4、参考） $cos δ = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ 、 $sin δ = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ で、 $ω < ω_{0}$ なので $0 < δ < \frac{π}{2}$ の遅れになる。

よって振幅は $\frac{2}{3} m$ 。

答え: $\frac{2}{3}$

よくある誤り

振幅の分子を $m$ で割り忘れて $A = \frac{F _{0}}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + 4 γ ^{2} ω ^{2}}$ としてしまう誤り。正しくは方程式を $m$ で割った右辺の係数 $\frac{F _{0}}{m}$ が分子に来るので $A = \frac{F _{0} / m}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + 4 γ ^{2} ω ^{2}}$ （ $m = 2$ なら答えは半分になる）
分母の $4 γ^{2} ω^{2}$ を抵抗の係数 $b$ そのものを使って $b^{2} ω^{2}$ としてしまう誤り（ $m$ で割った形と混同）。正しくは $γ = \frac{b}{2 m}$ なので $4 γ^{2} ω^{2} = \frac{b ^{2} ω ^{2}}{m ^{2}}$ 。上の例題では $m = 1$ なので一致するが、一般には異なる
$ω > ω_{0}$ のとき $tan δ = \frac{2 γ ω}{ω _{0}^{2} - ω ^{2}} < 0$ から $δ$ を負の角としてしまう誤り。正しくは $sin δ = \frac{2 γ ω}{D} > 0$ なので $0 < δ < π$ で、 $ω > ω_{0}$ では $δ = π + arctan \frac{2 γ ω}{ω _{0}^{2} - ω ^{2}}$ （第 2 象限）
定常解に斉次方程式の解（減衰振動の項）や初期条件を含めてしまう誤り。正しくは $γ > 0$ のとき斉次解は $e^{- γ t}$ などの因子で $0$ に近づくので、十分時間がたった後の定常解は $x = A cos (ω t - δ)$ だけで、初期条件によらない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
水平な床の上で、質量 $m = 0.50 kg$ の物体がばね定数 $k = 50 N/m$ のばねで壁につながれている。物体は速度に比例する抵抗力 $- b x ˙$ （ $b = 3.0 kg/s$ ）を受け、さらに水平方向の外力 $F_{0} cos ω t$ （ $F_{0} = 2.0 N$ , $ω = 8.0 rad/s$ ）を受けて、ばねの方向に一直線上を運動する。つり合いの位置からの変位を $x$ とすると、運動方程式は
$m x ¨ + b x ˙ + k x = F_{0} cos ω t$
である（抵抗力以外の摩擦は無視する）。十分に時間がたったあとの定常状態での振動の振幅は何 $m$ か。既約分数で求めよ。
$k$ $m$ $F_{0} cos ω t$ $x$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

共振と Q 値（大学物理振動・波動）
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