束縛電子による散乱（レイリー散乱）

ローレンツ模型の束縛電子について散乱断面積 $σ = σ_{T} \frac{ω ^{4}}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2}}$ を求め、 $ω ≪ ω_{0}$ でのレイリー散乱の $ω^{4}$ 則を使える

前提

トムソン散乱の断面積（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））
強制振動の定常解（大学物理振動・波動）

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算数中学高校大学大学院

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分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）
回路の性質と計器の使い方（中学理科物理分野の用語と知識）
電流と磁界・電磁誘導の用語（中学理科物理分野の用語と知識）
磁場と磁力線（高校物理電磁気と交流（知識））
電流がつくる磁場（右ねじの法則）（高校物理電磁気と交流（知識））
電磁誘導とレンツの法則・ファラデーの法則（高校物理電磁気と交流（知識））
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
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音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
横波・縦波と波の要素（高校物理波動（知識））
交流の発生と実効値（高校物理電磁気と交流（知識））
自己誘導と相互誘導（高校物理電磁気と交流（知識））
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電位・等電位面と電場の関係（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
導体の静電誘導（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
不導体の誘電分極（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量を決めるもの（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電流の正体と電流の向き（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と抵抗率（高校物理電流と回路（知識））
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
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熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
電力・電力量とジュール熱（高校物理電流と回路（知識））
コイル・コンデンサーの交流に対するはたらき（高校物理電磁気と交流（知識））
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電気振動（高校物理電磁気と交流（知識））
電磁波の性質と種類（高校物理電磁気と交流（知識））
ガウスの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
面積分と流束（大学数学ベクトル解析）
ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
磁束の積分と電磁誘導（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
波の要素と波の基本式（高校物理波動）
正弦波の式（高校物理波動）
ベクトル解析の恒等式と積の公式（大学数学ベクトル解析）
真空中の平面電磁波（大学物理電磁波と電磁場）
保存場とポテンシャル（大学数学ベクトル解析）
電場の線積分と電位差（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
クーロンの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー）
点電荷のつくる電場（高校物理電場と電位・コンデンサー）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
一様な電場と電位差（高校物理電場と電位・コンデンサー）
電池につないだまま・切り離したコンデンサーの変化（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量と電気量（高校物理電場と電位・コンデンサー）
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー）
広義積分（大学数学微分積分）
静電場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）
相互誘導とソレノイドのインダクタンス（高校物理電磁気と交流）
インダクタンスと磁場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
三角関数の積分（数学III 積分法）
ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）
電気双極子放射の角度分布（大学物理電磁波と電磁場）
力のモーメントと偶力（高校物理力と運動（知識））
力のモーメント（高校物理力と運動）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
正弦定理・余弦定理と三角形の面積（数学I 図形と計量）
極座標（数学C 平面上の曲線）
極座標での運動方程式（大学物理力学（質点・剛体））
角運動量とトルク（大学物理力学（質点・剛体））
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））
重力と弾性力の位置エネルギー（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
糸でつながれた物体の運動（高校物理力と運動）
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
保存力とポテンシャル（大学物理力学（質点・剛体））
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
力のつり合いと作用・反作用（中学理科物理分野の用語と知識）
慣性の法則と物体の運動（中学理科物理分野の用語と知識）
等速円運動の速度と加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
等速円運動の速さ・角速度・周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
三角関数のグラフの拡大と平行移動（数学II 三角関数）
単振動の変位・速度・加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
単振動の変位・速度・加速度の式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
有効ポテンシャルと円軌道の安定性（大学物理力学（質点・剛体））
平行線と線分の比（中学数学相似と三平方の定理）
2点間の距離と内分点・外分点（数学II 図形と方程式）
円の方程式（数学II 図形と方程式）
連立方程式の解き方（加減法・代入法）（中学数学方程式）
1 次関数の式の求め方（中学数学関数）
直線の方程式（数学II 図形と方程式）
点と直線の距離（数学II 図形と方程式）
円と直線の位置関係と弦の長さ（数学II 図形と方程式）
極方程式（数学C 平面上の曲線）
条件を満たす点の軌跡（数学II 図形と方程式）
放物線の方程式と焦点・準線（数学C 平面上の曲線）
楕円の方程式と焦点（数学C 平面上の曲線）
双曲線の方程式と焦点・漸近線（数学C 平面上の曲線）
離心率と準線（数学C 平面上の曲線）
2 次曲線の極方程式（数学C 平面上の曲線）
向心力（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
向心力と円運動の運動方程式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
万有引力の法則（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
人工衛星と静止衛星（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
円軌道の人工衛星の速さと周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
万有引力による位置エネルギーと脱出速度（高校物理円運動・単振動・万有引力）
ケプラーの 3 法則（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
楕円軌道の速さ（面積速度一定とエネルギー保存）（高校物理円運動・単振動・万有引力）
ケプラー問題の軌道（大学物理力学（質点・剛体））
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
クーロン散乱の衝突径数と散乱角（大学物理原子核・素粒子）
散乱断面積とラザフォードの公式（大学物理原子核・素粒子）
トムソン散乱の断面積（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
減衰振動（大学物理振動・波動）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
定数係数 2 階線形（非斉次）（大学数学微分方程式）
強制振動の定常解（大学物理振動・波動）

説明

原子や分子の中の電子は自由ではなく、固有角振動数 $ω_{0}$ のばねで束縛された振動子とみなせます（ローレンツ模型）。この束縛電子が角振動数 $ω$ の電磁波を散乱するときの全断面積は、減衰が無視できる範囲で $σ = σ_{T} \frac{ω ^{4}}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2}}$ （ $σ_{T} = \frac{8 π}{3} r_{e}^{2}$ はトムソン断面積）となります。とくに $ω ≪ ω_{0}$ では $σ \approx σ_{T} (\frac{ω}{ω _{0}})^{4}$ となり、散乱が振動数の 4 乗に比例します（レイリー散乱）。空が青く夕焼けが赤い理由など、可視光が紫外に共鳴をもつ気体分子に散乱される現象を定量的に扱うときに使います。

なぜそうしてよいのか

入射波の電場を $E_{0} cos ω t$ とすると、束縛電子（電荷 $- e$ 、質量 $m$ ）の運動方程式は $m x ¨ + 2 mγ x ˙ + m ω_{0}^{2} x = - e E_{0} cos ω t$ です。減衰が小さく $∣ ω_{0}^{2} - ω^{2} ∣ ≫ 2 γ ω$ の範囲では、強制振動の定常解の振幅は $A = \frac{e E _{0} / m}{∣ ω _{0}^{2} - ω ^{2} ∣}$ で、位相の遅れは 0 か $π$ です。電子は $ω$ で単振動するので、加速度の振幅は $ω^{2} A = \frac{ω ^{2}}{∣ ω _{0}^{2} - ω ^{2} ∣} \cdot \frac{e E _{0}}{m}$ になります。

散乱波は振動する電子が出す双極子放射で、その角度分布も全電力も加速度の振幅の 2 乗に比例し、加速度の向き（偏光方向）が同じなら形は自由電子の場合と同じです。自由電子（ $ω_{0} = 0$ ）の加速度の振幅は $\frac{e E _{0}}{m}$ で、そのときの断面積がトムソン断面積 $σ_{T}$ でした。入射強度は同じなので、束縛電子の断面積は加速度の振幅の 2 乗の比を掛けたもの
$σ = σ_{T} (\frac{ω ^{2}}{ω _{0}^{2} - ω ^{2}})^{2} = σ_{T} \frac{ω ^{4}}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2}}$
です。角度分布も同じ因子が掛かるだけで、無偏光なら $\frac{d σ}{d Ω} = r_{e}^{2} \frac{1 + cos ^{2} θ}{2} \cdot \frac{ω ^{4}}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2}}$ です。減衰を残すと分母は $(ω_{0}^{2} - ω^{2})^{2} + 4 γ^{2} ω^{2}$ になり、共鳴 $ω = ω_{0}$ でも有限にとどまります。

極限を見ると、 $ω ≫ ω_{0}$ では束縛が効かず $σ \to σ_{T}$ （自由電子と同じ）。 $ω ≪ ω_{0}$ では分母が $ω_{0}^{4}$ に近づき $σ \approx σ_{T} (\frac{ω}{ω _{0}})^{4}$ です。ばねが硬すぎて電子がほとんど動けず、変位の振幅は $ω$ によらず $\frac{e E _{0}}{m ω _{0}^{2}}$ に固定されるため、加速度は $ω^{2}$ 、放射電力は $ω^{4}$ に比例するのです。波長 $λ = 2 π c / ω$ で書くと $σ \propto λ^{- 4}$ です。

手順

入射波の角振動数 $ω$ と共鳴角振動数 $ω_{0}$ の大小を確かめ、減衰が無視できる（ $ω$ が共鳴から十分離れている）ことを確認する
全断面積を $σ = σ_{T} \frac{ω ^{4}}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2}}$ と書く（角度分布が要るときはトムソンの $\frac{d σ}{d Ω}$ に同じ因子を掛ける）
$ω ≪ ω_{0}$ なら $σ \approx σ_{T} (\frac{ω}{ω _{0}})^{4}$ と近似する（レイリー散乱）
2 つの振動数（波長）で比べるときは前因子が約分されるので、 $\frac{σ _{1}}{σ _{2}} = (\frac{ω _{1}}{ω _{2}})^{4} = (\frac{λ _{2}}{λ _{1}})^{4}$ を計算する

例題

空気中の分子の電子を、共鳴角振動数 $ω_{0}$ が紫外域にあるローレンツ模型の束縛電子とみなし、可視光の振動数は $ω ≪ ω_{0}$ を満たして減衰は無視できるとする。真空中の波長 $400 nm$ の光と $700 nm$ の光について、波長 $400 nm$ の光の散乱断面積は波長 $700 nm$ の光の散乱断面積の何倍か。レイリー散乱の近似を用いて、既約分数で求めよ。

例題の解答

（手順 1）可視光は $ω ≪ ω_{0}$ で、共鳴から十分離れているので減衰は無視できる。

（手順 2・3） $σ = σ_{T} \frac{ω ^{4}}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2}} \approx σ_{T} (\frac{ω}{ω _{0}})^{4}$ 。

（手順 4） $ω = \frac{2 π c}{λ}$ なので $σ \propto λ^{- 4}$ 。よって
$\frac{σ ( 400 nm )}{σ ( 700 nm )} = (\frac{700}{400})^{4} = (\frac{7}{4})^{4} = \frac{2401}{256} \approx 9.4.$
青紫の光は赤い光の約 9 倍強く散乱される。

答え: $\frac{2401}{256}$

よくある誤り

比を $(\frac{400}{700})^{4}$ と波長の比のまま 4 乗してしまう誤り。断面積は $ω^{4}$ に比例し、 $ω \propto 1/ λ$ なので $σ \propto λ^{- 4}$ 。短い波長ほど強く散乱され、比は $(\frac{700}{400})^{4}$ 。
変位の振幅の比 $\frac{1}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2}}$ だけを掛けて $σ = σ_{T} \frac{ω _{0}^{4}}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2}}$ のようにしてしまう誤り。放射は加速度の 2 乗に比例し、加速度の振幅は変位の振幅の $ω^{2}$ 倍なので、分子は $ω^{4}$ になる。比較の基準の自由電子の加速度は $\frac{e E _{0}}{m}$ 。
$ω ≫ ω_{0}$ でもレイリーの式 $σ \approx σ_{T} (ω / ω_{0})^{4}$ を使い、断面積がどこまでも大きくなるとしてしまう誤り。 $ω ≫ ω_{0}$ では $σ \to σ_{T}$ で、電子は自由電子と同じように散乱する。 $ω^{4}$ 則は $ω ≪ ω_{0}$ のときだけ。
共鳴 $ω = ω_{0}$ の近くで減衰なしの式を使い、断面積が無限大になるとしてしまう誤り。共鳴付近では減衰を残し、分母を $(ω_{0}^{2} - ω^{2})^{2} + 4 γ^{2} ω^{2}$ （運動方程式を $x ¨ + 2 γ x ˙ + ω_{0}^{2} x = \dots$ と書いた場合）とする。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
電子が固有角振動数 $ω_{0}$ の調和的な復元力で原子に束縛されているとみなすローレンツ模型を考える。減衰（放射減衰を含む）は無視する。この束縛電子に角振動数 $ω$ の平面電磁波が入射するとき、全散乱断面積は
$σ (ω) = σ_{T} \frac{ω ^{4}}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2}}$
で与えられる。ここで $σ_{T}$ は自由電子のトムソン散乱の全断面積である。
入射波の角振動数が $ω = \frac{ω _{0}}{3}$ のとき、比 $\frac{σ}{σ _{T}}$ の値を既約分数で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）
電子（質量 $m$ 、電荷 $- e$ ）が、ローレンツ模型にしたがって原子に束縛されているとする。すなわち電子は復元力 $- m ω_{0}^{2} x$ を受け、固有角振動数 $ω_{0}$ で振動できる。減衰と放射反作用は無視する。電子の運動は非相対論的で、双極子近似が成り立つものとし、入射波の磁場による力も無視する。SI 単位系を用い、古典電子半径を $r_{e} = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} m c ^{2}}$ とする。また、自由電子のトムソン散乱の全断面積を $σ_{T} = \frac{8 π}{3} r_{e}^{2}$ とする。 $σ_{T}$ は $ω_{0}$ や $ω$ によらない定数であり、この束縛電子の全散乱断面積ではないことに注意せよ。
この電子に、角振動数 $ω = \frac{ω _{0}}{2}$ の偏光していない（無偏光の）単色平面電磁波が入射する。散乱角 $θ$ を、入射波の進行方向と散乱波の進行方向のなす角とする。散乱角が $0 \leq θ \leq \frac{π}{3}$ の範囲に散乱される断面積を $σ_{cone}$ とするとき、比 $\frac{σ _{cone}}{σ _{T}}$ を既約分数で答えよ。