トムソン散乱の断面積

自由電子による電磁波の散乱について、微分断面積 $\frac{d σ}{d Ω} = r_{e}^{2} \frac{1 + cos ^{2} θ}{2}$ （無偏光）と全断面積 $σ_{T} = \frac{8 π}{3} r_{e}^{2}$ を求め、角度範囲を限った断面積を計算できる

前提

電気双極子放射の角度分布（大学物理電磁波と電磁場）
散乱断面積とラザフォードの公式（大学物理原子核・素粒子）

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算数中学高校大学大学院

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小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
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文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
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3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
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数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
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逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
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平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
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最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
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位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
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空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）
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多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
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指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
面積分と流束（大学数学ベクトル解析）
ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
磁束の積分と電磁誘導（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
波の要素と波の基本式（高校物理波動）
正弦波の式（高校物理波動）
ベクトル解析の恒等式と積の公式（大学数学ベクトル解析）
真空中の平面電磁波（大学物理電磁波と電磁場）
保存場とポテンシャル（大学数学ベクトル解析）
電場の線積分と電位差（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
クーロンの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー）
点電荷のつくる電場（高校物理電場と電位・コンデンサー）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
一様な電場と電位差（高校物理電場と電位・コンデンサー）
電池につないだまま・切り離したコンデンサーの変化（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量と電気量（高校物理電場と電位・コンデンサー）
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー）
広義積分（大学数学微分積分）
静電場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）
相互誘導とソレノイドのインダクタンス（高校物理電磁気と交流）
インダクタンスと磁場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
三角関数の積分（数学III 積分法）
ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）
電気双極子放射の角度分布（大学物理電磁波と電磁場）
力のモーメントと偶力（高校物理力と運動（知識））
力のモーメント（高校物理力と運動）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
正弦定理・余弦定理と三角形の面積（数学I 図形と計量）
極座標（数学C 平面上の曲線）
極座標での運動方程式（大学物理力学（質点・剛体））
角運動量とトルク（大学物理力学（質点・剛体））
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））
重力と弾性力の位置エネルギー（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
糸でつながれた物体の運動（高校物理力と運動）
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
保存力とポテンシャル（大学物理力学（質点・剛体））
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
力のつり合いと作用・反作用（中学理科物理分野の用語と知識）
慣性の法則と物体の運動（中学理科物理分野の用語と知識）
等速円運動の速度と加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
等速円運動の速さ・角速度・周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
三角関数のグラフの拡大と平行移動（数学II 三角関数）
単振動の変位・速度・加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
単振動の変位・速度・加速度の式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
有効ポテンシャルと円軌道の安定性（大学物理力学（質点・剛体））
平行線と線分の比（中学数学相似と三平方の定理）
2点間の距離と内分点・外分点（数学II 図形と方程式）
円の方程式（数学II 図形と方程式）
連立方程式の解き方（加減法・代入法）（中学数学方程式）
1 次関数の式の求め方（中学数学関数）
直線の方程式（数学II 図形と方程式）
点と直線の距離（数学II 図形と方程式）
円と直線の位置関係と弦の長さ（数学II 図形と方程式）
極方程式（数学C 平面上の曲線）
条件を満たす点の軌跡（数学II 図形と方程式）
放物線の方程式と焦点・準線（数学C 平面上の曲線）
楕円の方程式と焦点（数学C 平面上の曲線）
双曲線の方程式と焦点・漸近線（数学C 平面上の曲線）
離心率と準線（数学C 平面上の曲線）
2 次曲線の極方程式（数学C 平面上の曲線）
向心力（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
向心力と円運動の運動方程式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
万有引力の法則（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
人工衛星と静止衛星（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
円軌道の人工衛星の速さと周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
万有引力による位置エネルギーと脱出速度（高校物理円運動・単振動・万有引力）
ケプラーの 3 法則（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
楕円軌道の速さ（面積速度一定とエネルギー保存）（高校物理円運動・単振動・万有引力）
ケプラー問題の軌道（大学物理力学（質点・剛体））
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
クーロン散乱の衝突径数と散乱角（大学物理原子核・素粒子）
散乱断面積とラザフォードの公式（大学物理原子核・素粒子）

説明

電磁波が自由電子に当たると、電子は電場に揺さぶられて振動する双極子になり、四方へ電磁波を出し直します。これがトムソン散乱で、その強さは微分断面積 $\frac{d σ}{d Ω} = r_{e}^{2} \frac{1 + cos ^{2} θ}{2}$ （無偏光の入射、 $θ$ は散乱角）と全断面積 $σ_{T} = \frac{8 π}{3} r_{e}^{2}$ で表されます。ここで $r_{e} = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} m c ^{2}}$ は古典電子半径です。光子のエネルギーが電子の静止エネルギーより十分小さい（ $ℏ ω ≪ m c^{2}$ ）低エネルギーの散乱、たとえば恒星内部や初期宇宙での光と電子の相互作用、X 線の散乱強度の見積もりなどで使います。

なぜそうしてよいのか

入射波の電場を $E = E_{0} ϵ cos ω t$ （ $ϵ$ は偏光方向の単位ベクトル）とします。電子の速さが $c$ より十分小さいとき、磁場からの力は無視でき、運動方程式は $m x ¨ = - e E$ です。電子の双極子モーメントは $p = - e x$ なので $p ¨ = \frac{e ^{2} E _{0}}{m} ϵ cos ω t$ となり、電子は偏光方向に振動する双極子です。双極子放射の公式に入れると、偏光方向と観測方向 $n$ のなす角を $ψ$ として $\frac{d P}{d Ω} = \frac{μ _{0}}{16 π ^{2} c} \frac{e ^{4} E _{0}^{2}}{m ^{2}} sin^{2} ψ cos^{2} ω t$ 、時間平均で $cos^{2} ω t \to \frac{1}{2}$ です。

微分断面積は「単位立体角あたりに散乱される平均電力」を「入射波の強度（ポインティングベクトルの時間平均） $I = \frac{1}{2} ε_{0} c E_{0}^{2}$ 」で割ったものです。割り算すると $E_{0}^{2}$ も $\frac{1}{2}$ も消え、 $μ_{0} = \frac{1}{ε _{0} c ^{2}}$ を使うと $\frac{d σ}{d Ω} = (\frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} m c ^{2}})^{2} sin^{2} ψ = r_{e}^{2} sin^{2} ψ$ が得られます。断面積は入射強度にも振動数にもよらない、電子に固有の「的の大きさ」になります。

入射が無偏光のときは、 $ϵ$ が入射方向に垂直な面内のあらゆる向きを等しい重みでとるとして平均します。 $sin^{2} ψ = 1 - (ϵ \cdot n)^{2}$ で、 $n$ のうち入射方向に垂直な成分の大きさは $sin θ$ なので、 $ϵ$ がその面内で角 $ϕ$ をなすとき $(ϵ \cdot n)^{2} = sin^{2} θ cos^{2} ϕ$ 、その平均は $\frac{1}{2} sin^{2} θ$ です。よって $sin^{2} ψ = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} θ = \frac{1 + cos ^{2} θ}{2}$ 。全立体角で積分すると $d Ω = sin θ d θ d φ$ と $u = cos θ$ により $σ_{T} = r_{e}^{2} \cdot 2 π \int_{- 1}^{1} \frac{1 + u ^{2}}{2} d u = \frac{8 π}{3} r_{e}^{2}$ となります。

手順

入射波が偏光しているか無偏光かを確かめる。偏光しているなら偏光方向と観測方向のなす角 $ψ$ を使い $\frac{d σ}{d Ω} = r_{e}^{2} sin^{2} ψ$ 、無偏光なら散乱角 $θ$ （入射方向と散乱方向のなす角）を使い $\frac{d σ}{d Ω} = r_{e}^{2} \frac{1 + cos ^{2} θ}{2}$ を書く
求めたい角度範囲を立体角で表し、 $d Ω = sin θ d θ d φ$ として断面積を $σ = \int \frac{d σ}{d Ω} d Ω$ と積分の形に書く（方位角 $φ$ によらなければ $φ$ の積分は $2 π$ ）
$u = cos θ$ と置換し（ $sin θ d θ = - d u$ ）、 $u$ の多項式の定積分として計算する。積分範囲は $θ$ の範囲を $u$ に直して、小さい方を下端にする
必要なら全断面積 $σ_{T} = \frac{8 π}{3} r_{e}^{2}$ で割って、その範囲に散乱される割合を求める。 $r_{e}$ の値が要るときは $r_{e} = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} m c ^{2}}$ を使う

例題

無偏光の電磁波が静止した自由電子にトムソン散乱される（ $ℏ ω ≪ m c^{2}$ とし、SI 単位系を用いる）。古典電子半径を $r_{e}$ とするとき、散乱角 $θ$ が $0 \leq θ \leq \frac{π}{3}$ の範囲（入射方向を軸とする半頂角 $\frac{π}{3}$ の円錐の中）に散乱される断面積を $r_{e}$ を用いて求めよ。

例題の解答

（手順 1）入射は無偏光なので $\frac{d σ}{d Ω} = r_{e}^{2} \frac{1 + cos ^{2} θ}{2}$ 。

（手順 2）方位角によらないので $φ$ の積分は $2 π$ で、
$σ = \int_{0}^{2 π} d φ \int_{0}^{π /3} r_{e}^{2} \frac{1 + cos ^{2} θ}{2} sin θ d θ = π r_{e}^{2} \int_{0}^{π /3} (1 + cos^{2} θ) sin θ d θ .$

（手順 3） $u = cos θ$ とおくと $θ = 0 \to u = 1$ 、 $θ = \frac{π}{3} \to u = \frac{1}{2}$ 、 $sin θ d θ = - d u$ なので
$σ = π r_{e}^{2} \int_{1/2}^{1} (1 + u^{2}) d u = π r_{e}^{2} [u + \frac{u ^{3}}{3}]_{1/2}^{1} = π r_{e}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{8}) = π r_{e}^{2} (\frac{12}{24} + \frac{7}{24}) = \frac{19 π}{24} r_{e}^{2} .$

（手順 4・確認）全断面積との比は $\frac{19 π /24}{8 π /3} = \frac{19}{64}$ で、約 3 割がこの円錐の中に散乱される。前方の半球全体では $\frac{1}{2}$ なので、それより小さく妥当である。

答え: $\frac{19 π}{24} r_{e}^{2}$

よくある誤り

無偏光なのに $\frac{d σ}{d Ω} = r_{e}^{2} sin^{2} θ$ と散乱角 $θ$ をそのまま双極子の角度に使ってしまう誤り。 $sin^{2}$ の角は偏光方向から測った角 $ψ$ であり、無偏光では偏光について平均して $r_{e}^{2} \frac{1 + cos ^{2} θ}{2}$ とする（前方 $θ = 0$ でも散乱は 0 にならず $r_{e}^{2}$ ）。
立体角の積分で $d Ω = d θ d φ$ として $sin θ$ を落とす誤り。正しくは $d Ω = sin θ d θ d φ$ で、たとえば全断面積は $2 π \int_{0}^{π} \frac{1 + cos ^{2} θ}{2} sin θ d θ r_{e}^{2} = \frac{8 π}{3} r_{e}^{2}$ 。
SI 単位系で古典電子半径を $r_{e} = \frac{e ^{2}}{m c ^{2}}$ としてしまう誤り。これはガウス単位系の式で、SI では $r_{e} = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} m c ^{2}} \approx 2.82 \times 1 0^{- 15} m$ 。
$u = cos θ$ の置換で $sin θ d θ = - d u$ の符号を忘れ、 $\int_{1}^{1/2} (1 + u^{2}) d u$ のまま計算して負の断面積を出す誤り。符号を反映させて $\int_{1/2}^{1} (1 + u^{2}) d u$ とし、断面積は必ず正になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
偏光していない（無偏光の）電磁波が、静止した自由電子に入射してトムソン散乱される。電磁波の光子のエネルギーは電子の静止エネルギーに比べて十分小さく、散乱の微分断面積は
$\frac{d σ}{d Ω} = r_{e}^{2} \frac{1 + cos ^{2} θ}{2}$
で与えられる。ここで $r_{e}$ は古典電子半径、 $θ$ は入射方向と散乱方向のなす角（散乱角）である。
散乱角が $0 \leq θ \leq \frac{π}{3}$ の範囲（前方の円錐の中）に散乱される断面積を $σ_{f}$ とするとき、トムソン散乱の全断面積 $σ_{T}$ に対する比 $\frac{σ _{f}}{σ _{T}}$ を既約分数で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）
電子（質量 $m$ 、電荷 $- e$ ）が、ローレンツ模型にしたがって原子に束縛されているとする。すなわち電子は復元力 $- m ω_{0}^{2} x$ を受け、固有角振動数 $ω_{0}$ で振動できる。減衰と放射反作用は無視する。電子の運動は非相対論的で、双極子近似が成り立つものとし、入射波の磁場による力も無視する。SI 単位系を用い、古典電子半径を $r_{e} = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} m c ^{2}}$ とする。また、自由電子のトムソン散乱の全断面積を $σ_{T} = \frac{8 π}{3} r_{e}^{2}$ とする。 $σ_{T}$ は $ω_{0}$ や $ω$ によらない定数であり、この束縛電子の全散乱断面積ではないことに注意せよ。
この電子に、角振動数 $ω = \frac{ω _{0}}{2}$ の偏光していない（無偏光の）単色平面電磁波が入射する。散乱角 $θ$ を、入射波の進行方向と散乱波の進行方向のなす角とする。散乱角が $0 \leq θ \leq \frac{π}{3}$ の範囲に散乱される断面積を $σ_{cone}$ とするとき、比 $\frac{σ _{cone}}{σ _{T}}$ を既約分数で答えよ。

この技能の次に学べること

束縛電子による散乱（レイリー散乱）（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））