散乱断面積とラザフォードの公式

$\frac{d σ}{d Ω} = \frac{b}{sin θ} \frac{d b}{d θ}$ からラザフォードの微分断面積 $(\frac{k}{4 K})^{2} \frac{1}{sin ^{4} ( θ /2 )}$ を導き、ある角度範囲に散乱される割合や粒子数を求められる

前提

クーロン散乱の衝突径数と散乱角（大学物理原子核・素粒子）

この技能までの道筋（144 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
力のモーメントと偶力（高校物理力と運動（知識））
力のモーメント（高校物理力と運動）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
正弦定理・余弦定理と三角形の面積（数学I 図形と計量）
極座標（数学C 平面上の曲線）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
極座標での運動方程式（大学物理力学（質点・剛体））
角運動量とトルク（大学物理力学（質点・剛体））
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））
重力と弾性力の位置エネルギー（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
糸でつながれた物体の運動（高校物理力と運動）
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）
保存場とポテンシャル（大学数学ベクトル解析）
保存力とポテンシャル（大学物理力学（質点・剛体））
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
力のつり合いと作用・反作用（中学理科物理分野の用語と知識）
慣性の法則と物体の運動（中学理科物理分野の用語と知識）
等速円運動の速度と加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
等速円運動の速さ・角速度・周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
三角関数のグラフの拡大と平行移動（数学II 三角関数）
単振動の変位・速度・加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
単振動の変位・速度・加速度の式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
有効ポテンシャルと円軌道の安定性（大学物理力学（質点・剛体））
平行線と線分の比（中学数学相似と三平方の定理）
2点間の距離と内分点・外分点（数学II 図形と方程式）
円の方程式（数学II 図形と方程式）
連立方程式の解き方（加減法・代入法）（中学数学方程式）
1 次関数の式の求め方（中学数学関数）
直線の方程式（数学II 図形と方程式）
点と直線の距離（数学II 図形と方程式）
円と直線の位置関係と弦の長さ（数学II 図形と方程式）
極方程式（数学C 平面上の曲線）
条件を満たす点の軌跡（数学II 図形と方程式）
放物線の方程式と焦点・準線（数学C 平面上の曲線）
楕円の方程式と焦点（数学C 平面上の曲線）
双曲線の方程式と焦点・漸近線（数学C 平面上の曲線）
離心率と準線（数学C 平面上の曲線）
2 次曲線の極方程式（数学C 平面上の曲線）
向心力（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
向心力と円運動の運動方程式（高校物理円運動・単振動・万有引力）
万有引力の法則（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
人工衛星と静止衛星（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
円軌道の人工衛星の速さと周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
万有引力による位置エネルギーと脱出速度（高校物理円運動・単振動・万有引力）
ケプラーの 3 法則（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
楕円軌道の速さ（面積速度一定とエネルギー保存）（高校物理円運動・単振動・万有引力）
ケプラー問題の軌道（大学物理力学（質点・剛体））
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
広義積分（大学数学微分積分）
クーロン散乱の衝突径数と散乱角（大学物理原子核・素粒子）

説明

一様な粒子の流れを標的に当てたとき、どの向きにどれだけの粒子が散乱されるかを表す量が微分断面積 $\frac{d σ}{d Ω}$ です。衝突径数 $b$ と散乱角 $θ$ の関係から $\frac{d σ}{d Ω} = \frac{b}{sin θ} \frac{d b}{d θ}$ で求められ、クーロン斥力 $U = k / r$ の場合にはラザフォードの公式 $(\frac{k}{4 K})^{2} \frac{1}{sin ^{4} ( θ /2 )}$ になります。これを使うと、金箔に $α$ 粒子を当てる実験のように、ある角度範囲に散乱される粒子の割合や数を計算できます。

なぜそうしてよいのか

入射粒子の流れに垂直な面で見ると、衝突径数が $b$ と $b + d b$ の間にある粒子は、半径 $b$ 、幅 $∣ d b ∣$ の細い輪を通ってきます。この輪の面積は $2 π b ∣ d b ∣$ です。中心力による散乱では $b$ が決まれば散乱角 $θ$ が 1 つに決まるので、この輪を通った粒子はすべて $θ$ と $θ + d θ$ の間の向きへ出ていきます。その向きの範囲は、単位球面上で幅 $∣ d θ ∣$ の帯で、立体角は $d Ω = 2 π sin θ ∣ d θ ∣$ です（立体角は単位球面上の面積で、極座標の面積要素 $sin θ d θ d φ$ を $φ$ について $0$ から $2 π$ まで積分したもの）。

「その向きの単位立体角あたりへ散乱される粒子が、入射流のどれだけの面積から来たか」を微分断面積と定義します。輪の面積を帯の立体角で割れば $\frac{d σ}{d Ω} = \frac{2 π b ∣ d b ∣}{2 π sin θ ∣ d θ ∣} = \frac{b}{sin θ} \frac{d b}{d θ}$ です。斥力では $b$ が大きいほど $θ$ が小さいので $d b / d θ < 0$ となり、面積を正にするため絶対値を付けます。

クーロン斥力では $b = \frac{k}{2 K} cot \frac{θ}{2}$ （ $K$ は入射粒子の運動エネルギー）なので、 $\frac{d b}{d θ} = - \frac{k}{4 K} \frac{1}{sin ^{2} ( θ /2 )}$ です。 $sin θ = 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}$ を使うと $\frac{d σ}{d Ω} = \frac{k}{2 K} \frac{cos ( θ /2 )}{sin ( θ /2 )} \cdot \frac{1}{2 sin ( θ /2 ) cos ( θ /2 )} \cdot \frac{k}{4 K} \frac{1}{sin ^{2} ( θ /2 )} = (\frac{k}{4 K})^{2} \frac{1}{sin ^{4} ( θ /2 )}$ がラザフォードの公式です。ある角度範囲に散乱される断面積は、これに $d Ω = 2 π sin θ d θ$ を掛けてその範囲で積分すれば得られます。厚さ $t$ 、標的核の数密度 $n$ の薄い箔なら、断面積 $σ$ の範囲へ散乱される割合は $n t σ$ です（箔を正面から見ると単位面積あたり $n t$ 個の核があり、それぞれが面積 $σ$ の「的」になるため。的どうしが重ならないほど薄いとします）。

手順

散乱角と衝突径数の関係 $b (θ)$ を書く。クーロン斥力なら $b = \frac{k}{2 K} cot \frac{θ}{2}$
$\frac{d b}{d θ}$ を計算し、 $\frac{d σ}{d Ω} = \frac{b}{sin θ} \frac{d b}{d θ}$ に代入する。クーロン斥力では $(\frac{k}{4 K})^{2} \frac{1}{sin ^{4} ( θ /2 )}$ になる
角度範囲 $θ_{1} \leq θ \leq θ_{2}$ の断面積を $σ = \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{d σ}{d Ω} 2 π sin θ d θ$ で求める（ $u = sin (θ /2)$ と置換すると計算しやすい）
必要なら、散乱される割合 $n t σ$ や粒子数（入射粒子数 $\times n t σ$ ）に直す。2 つの向きの数を比べるだけなら、同じ立体角での $\frac{d σ}{d Ω}$ の比を取る

例題

運動エネルギー $K$ の粒子が、固定された点電荷による斥力ポテンシャル $U = \frac{k}{r}$ （ $k > 0$ ）で散乱される。衝突径数 $b$ と散乱角 $θ$ の関係は $b = \frac{k}{2 K} cot \frac{θ}{2}$ である。ラザフォードの微分断面積を用いて、散乱角が $\frac{π}{2} \leq θ \leq π$ となる散乱の断面積 $σ$ を $k, K$ で表せ。

例題の解答

【手順 1】 $b = \frac{k}{2 K} cot \frac{θ}{2}$ です。

【手順 2】 $\frac{d b}{d θ} = \frac{k}{2 K} \cdot (- \frac{1}{sin ^{2} ( θ /2 )}) \cdot \frac{1}{2} = - \frac{k}{4 K} \frac{1}{sin ^{2} ( θ /2 )}$ なので、上で見たとおり $\frac{d σ}{d Ω} = (\frac{k}{4 K})^{2} \frac{1}{sin ^{4} ( θ /2 )}$ です。

【手順 3】 $σ = \int_{π /2}^{π} (\frac{k}{4 K})^{2} \frac{2 π sin θ}{sin ^{4} ( θ /2 )} d θ$ で、 $u = sin \frac{θ}{2}$ とおくと $d u = \frac{1}{2} cos \frac{θ}{2} d θ$ 、 $sin θ d θ = 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2} d θ = 4 u d u$ です。 $θ = \frac{π}{2}$ で $u = \frac{1}{2}$ 、 $θ = π$ で $u = 1$ なので $\int_{π /2}^{π} \frac{sin θ}{sin ^{4} ( θ /2 )} d θ = \int_{1/ 2}^{1} \frac{4 u}{u ^{4}} d u = [- \frac{2}{u ^{2}}]_{1/ 2}^{1} = - 2 + 4 = 2$ よって $σ = 2 π \cdot \frac{k ^{2}}{16 K ^{2}} \cdot 2 = \frac{π k ^{2}}{4 K ^{2}}$ です。

（確かめ） $θ \geq \frac{π}{2}$ となるのは $b \leq \frac{k}{2 K} cot \frac{π}{4} = \frac{k}{2 K}$ の粒子なので、断面積は半径 $\frac{k}{2 K}$ の円の面積 $π (\frac{k}{2 K})^{2} = \frac{π k ^{2}}{4 K ^{2}}$ と一致します。

答え: $\frac{π k ^{2}}{4 K ^{2}}$

よくある誤り

$\frac{d b}{d θ}$ が負であることを忘れ、 $\frac{d σ}{d Ω} = - (\frac{k}{4 K})^{2} \frac{1}{sin ^{4} ( θ /2 )}$ のように負の断面積を出してしまう誤り。正しくは絶対値を取り、 $\frac{b}{sin θ} \frac{d b}{d θ} > 0$
角度範囲で積分するときに立体角を $d Ω = 2 π d θ$ としてしまう誤り。正しくは $d Ω = 2 π sin θ d θ$ で、 $σ = \int \frac{d σ}{d Ω} 2 π sin θ d θ$
ラザフォードの公式の分母を $sin^{4} θ$ としてしまう誤り。正しくは半角の $sin^{4} (θ /2)$ で、たとえば $θ = 6 0^{\circ}$ と $9 0^{\circ}$ の比は $\frac{sin ^{4} ( π /4 )}{sin ^{4} ( π /6 )} = \frac{1/4}{1/16} = 4$ になる
すべての角度で積分すれば有限の全断面積が得られると考えてしまう誤り。 $θ \to 0$ で $\frac{1}{sin ^{4} ( θ /2 )}$ が急に大きくなり、 $\int_{θ_{0}}^{π}$ は $π (\frac{k}{2 K})^{2} cot^{2} \frac{θ _{0}}{2}$ で $θ_{0} \to 0$ のとき発散する。クーロン力は遠くまで届くので、角度の下限を決めて積分する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
運動エネルギー $K$ の $α$ 粒子のビームを薄い金箔に当てる散乱実験を行う。金の原子核は十分重く静止したままとみなし、 $α$ 粒子は原子核からクーロン斥力 $U = \frac{k}{r}$ （ $k > 0$ ）だけを受けて 1 回だけ散乱されるものとする。このとき散乱の微分断面積はラザフォードの公式
$\frac{d σ}{d Ω} = (\frac{k}{4 K})^{2} \frac{1}{sin ^{4} ( θ /2 )}$
で与えられる（ $θ$ は散乱角）。
同じ立体角をもつ小さな検出器を、散乱角 $θ = \frac{π}{3}$ の位置と $θ = \frac{2 π}{3}$ の位置に置いた。同じ時間に $θ = \frac{π}{3}$ の検出器で数えられる粒子数は、 $θ = \frac{2 π}{3}$ の検出器で数えられる粒子数の何倍か。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

トムソン散乱の断面積（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））
2→2 散乱の微分断面積と全断面積（大学院物理場の量子論）
ボルン近似の散乱振幅と断面積（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））