この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

原子核・素粒子の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理原子核・素粒子

薄い金箔に $α$ 粒子のビームを当て、ラザフォード散乱された $α$ 粒子を検出器で数える実験を行う。 $α$ 粒子の運動エネルギーを $K$ 、金の原子核の電荷を $Z e$ 、 $α$ 粒子の電荷を $2 e$ 、真空の誘電率を $ε_{0}$ とすると、微分断面積は
$\frac{d σ}{d Ω} = (\frac{2 Z e ^{2}}{16 π ε _{0} K})^{2} \frac{1}{sin ^{4} ( θ /2 )}$
で与えられる（ $θ$ は散乱角）。

次の 2 つの測定を、同じ金箔・同じ検出器（立体角が同じ）・同じ測定時間・同じビーム強度（単位時間に金箔に入射する $α$ 粒子の数が同じ）で行う。

測定 I：運動エネルギー $K_{0}$ の $α$ 粒子を用い、散乱角 $6 0^{\circ}$ の位置で数える。

測定 II：運動エネルギー $2 K_{0}$ の $α$ 粒子を用い、散乱角 $9 0^{\circ}$ の位置で数える。

測定 I で数えた粒子数は、測定 II で数えた粒子数の何倍か。ただし、検出器の立体角は十分小さく、その範囲で微分断面積は一定とみなす。また、金箔は十分薄く、 $α$ 粒子は 1 回だけ散乱されるとする。

この問題で使うもの

散乱断面積とラザフォードの公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（145 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

検出される粒子数は、ほかの条件が同じなら微分断面積 $\frac{d σ}{d Ω}$ に比例する。

ヒント 2

微分断面積は $\frac{1}{K ^{2} sin ^{4} ( θ /2 )}$ に比例する。 $K$ と $θ$ の両方が変わることに注意しよう。

ヒント 3

測定 I では $sin^{4} 3 0^{\circ} = \frac{1}{16}$ 、測定 II では $sin^{4} 4 5^{\circ} = \frac{1}{4}$ で、エネルギーは $K_{0}$ と $2 K_{0}$ である。

答えと解説

答えを見る

16

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

金箔が薄く 1 回散乱だけを考えればよいので、検出器で数える粒子数 $N$ は、入射粒子数、金箔の単位面積あたりの原子核数、検出器の立体角 $ΔΩ$ 、微分断面積 $\frac{d σ}{d Ω}$ の積に比例する。2 つの測定では微分断面積以外の条件はすべて同じなので
$\frac{N _{I}}{N _{II}} = \frac{\frac{d σ}{d Ω} _{I}}{\frac{d σ}{d Ω} _{II}}$
である。

与えられた式から $\frac{d σ}{d Ω} \propto \frac{1}{K ^{2} sin ^{4} ( θ /2 )}$ である。

測定 I： $K = K_{0}$ , $θ = 6 0^{\circ}$ で $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $sin^{4} 3 0^{\circ} = \frac{1}{16}$ 。よって $\frac{1}{K ^{2} sin ^{4} ( θ /2 )} = \frac{16}{K _{0}^{2}}$ 。

測定 II： $K = 2 K_{0}$ , $θ = 9 0^{\circ}$ で $sin 4 5^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $sin^{4} 4 5^{\circ} = \frac{1}{4}$ 。よって $\frac{1}{K ^{2} sin ^{4} ( θ /2 )} = \frac{1}{4 K _{0}^{2} \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1}{K _{0}^{2}}$ 。

したがって
$\frac{N _{I}}{N _{II}} = \frac{16/ K _{0}^{2}}{1/ K _{0}^{2}} = 16$
より、16 倍である。

別解

粒子数は（ビーム強度・測定時間・金箔・立体角が共通なので）微分断面積に比例する。 $\frac{d σ}{d Ω} \propto \frac{1}{K ^{2} s i n ^{4} ( θ /2 )}$ 。測定 I: $K = K_{0}$ , $θ = 6 0^{\circ}$ で $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $sin^{4} = \frac{1}{16}$ より $\propto \frac{16}{K _{0}^{2}}$ 。測定 II: $K = 2 K_{0}$ , $θ = 9 0^{\circ}$ で $sin 4 5^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $sin^{4} = \frac{1}{4}$ より $\propto \frac{1}{4 K _{0}^{2}} \cdot 4 = \frac{1}{K _{0}^{2}}$ 。比は
$\frac{16/ K _{0}^{2}}{1/ K _{0}^{2}} = 16.$
検算: $\frac{( 2 K _{0} ) ^{2}}{K _{0}^{2}} \cdot \frac{s i n ^{4} 4 5 ^{\circ}}{s i n ^{4} 3 0 ^{\circ}} = 4 \times \frac{1/4}{1/16} = 4 \times 4 = 16$ 。

原子核・素粒子の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題