原子核・素粒子

ある放射性原子核 X は、2 つの経路で崩壊する。経路 1（${\beta }^{-}$ 崩壊）の崩壊定数を ${\lambda }_1$、経路 2（$\alpha$ 崩壊）の崩壊定数を ${\lambda }_2$ とし、各経路の崩壊は互いに独立に起こるものとする。崩壊していない X の個数 $N(t)$ は
$$\frac{dN}{dt}=-({\lambda }_1+{\lambda }_2)N$$
に従う。

経路 1 だけがあったとしたときの半減期は $6$ 時間、経路 2 だけがあったとしたときの半減期は $3$ 時間であり、${\lambda }_1=\frac{\log 2}{6\text{時間}}$, ${\lambda }_2=\frac{\log 2}{3\text{時間}}$ である。X の実際の半減期は何時間か。

重水素の原子核（重陽子）どうしが衝突して起こる核融合反応
$${}_1^2\mathrm{H}+{}_1^2\mathrm{H}⟶{}_2^3\mathrm{He}+{}_0^1\mathrm{n}$$
を考える。原子核の結合エネルギーは ${}_1^2\mathrm{H}$ が $2.22\text{MeV}$、${}_2^3\mathrm{He}$ が $7.72\text{MeV}$ とし、中性子 ${}_0^1\mathrm{n}$ の結合エネルギーは $0$ とする。

この反応の Q 値 $Q=\left(\sum m_{\text{始}}-\sum m_{\text{終}}\right)c^2$ は何 MeV か。小数第 2 位まで求めよ（発熱反応なら正、吸熱反応なら負の値になる）。

質量数 $A$、陽子数 $Z$ の原子核の結合エネルギーを、ワイツゼッカーの質量公式
$$B(A,Z)=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-a_C\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}-a_A\frac{(A-2Z{)}^2}{A}+\delta$$
で表す。ここで $a_V,a_S,a_C,a_A$ は正の定数であり、対項 $\delta$ は $A$ が奇数の原子核では $\delta =0$ である。

互いに鏡像核である ${}_{13}^{27}\mathrm{Al}$ と ${}_{14}^{27}\mathrm{Si}$ について、結合エネルギーの差 $B(27,13)-B(27,14)$ は何 MeV か。$a_C=0.69\text{MeV}$ として、小数第 2 位まで求めよ。

静止している粒子の次の崩壊 $(1)$〜$(5)$ のうち、電荷・バリオン数・電子数 $L_e$・ミューオン数 $L_{\mu }$ の保存と、エネルギーの保存（崩壊前の静止質量が崩壊後の静止質量の和以上であること）をすべて満たし、起こりうるものの番号をすべて求めよ。

$(1)$ $\mathrm{n}\to \mathrm{p}+e^{-}+{\bar{\nu }}_e$

$(2)$ $\mathrm{p}\to \mathrm{n}+e^{+}+{\nu }_e$

$(3)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+{\bar{\nu }}_e+{\nu }_{\mu }$

$(4)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+\gamma$

$(5)$ $\mathrm{p}\to e^{+}+{\pi }^0$

ただし、静止質量は $\mathrm{n}$: $939.6\text{MeV}/c^2$、$\mathrm{p}$: $938.3\text{MeV}/c^2$、$e^{\pm }$: $0.511\text{MeV}/c^2$、${\mu }^{-}$: $105.7\text{MeV}/c^2$、${\pi }^0$: $135.0\text{MeV}/c^2$ とし、ニュートリノと光子 $\gamma$ の質量は $0$ とする。量子数は次のとおりとする。
- バリオン数：$\mathrm{p}$, $\mathrm{n}$ は $+1$、それ以外の粒子（レプトン・${\pi }^0$・$\gamma$）は $0$
- 電子数 $L_e$：$e^{-}$, ${\nu }_e$ は $+1$、$e^{+}$, ${\bar{\nu }}_e$ は $-1$、それ以外は $0$
- ミューオン数 $L_{\mu }$：${\mu }^{-}$, ${\nu }_{\mu }$ は $+1$、${\mu }^{+}$, ${\bar{\nu }}_{\mu }$ は $-1$、それ以外は $0$

運動エネルギー $K$ の $\alpha$ 粒子が、遠方から重い原子核に向かって入射する。原子核は十分重く、静止したまま動かないものとする。$\alpha$ 粒子と原子核の間にはクーロン斥力がはたらき、そのポテンシャルエネルギーは中心からの距離 $r$ を用いて $U=\frac{k}{r}$（$k$ は正の定数）で表される。このとき $\alpha$ 粒子は双曲線軌道を描き、衝突径数 $b$ と散乱角 $\theta$ の間には
$$b=\frac{k}{2K}\cot \frac{\theta }{2}$$
の関係が成り立つ。

散乱角が $\theta =\frac{\pi }{3}$ となるときの衝突径数 $b$ を、$k$, $K$ を用いて表せ。

原子炉の中で試料に中性子を照射し、放射性原子核 X を毎秒一定の個数 $R$（$R>0$）ずつ生成する。X は崩壊定数 $\lambda$（$\lambda >0$）で崩壊し、半減期は $T=\frac{\log 2}{\lambda }$ である。照射開始の時刻を $t=0$ とし、そのとき X は存在しない。X の個数 $N(t)$ は
$$\frac{dN}{dt}=R-\lambda N$$
に従う。

$N(t)$ が、十分に時間がたったときの値 $\underset{t\to \infty }{\lim }N(t)$ の $\frac{3}{4}$ に達する時刻は、半減期 $T$ の何倍か。

静止している ${}_7^{14}\mathrm{N}$ 原子核に $\alpha$ 粒子を当てて、核反応
$${}_2^4\mathrm{He}+{}_7^{14}\mathrm{N}⟶{}_8^{17}\mathrm{O}+{}_1^1\mathrm{H}$$
を起こす。この反応の Q 値は $Q=-1.19\text{MeV}$ である。原子核の質量は質量数に比例するとみなし（$m_{\alpha }:m_{\mathrm{N}}=4:14$）、反応の前後で質量の和は変わらないとして非相対論的に扱う。

この反応が起こるために必要な $\alpha$ 粒子の運動エネルギーの最小値（しきい値）$K_{\text{th}}$ は何 MeV か。小数第 2 位まで求めよ。

質量数 $A=63$ の同重体（質量数が同じで原子番号 $Z$ が異なる原子）を考える。$A$ を固定すると、原子の質量エネルギーは $Z$ の 2 次式として
$$M(Z)c^2=M_0{c}^2-35.04Z+0.60Z^2[\text{MeV}]$$
と近似できるものとする（$M_0{c}^2$ は $Z$ によらない定数）。ここで $Z$ は正の整数である。原子の質量が小さい同重体ほど安定であり、隣りあう同重体の間では、原子の質量が大きいほうから小さいほうへ ${\beta }^{-}$ 崩壊または電子捕獲（${\beta }^{+}$ 崩壊を含む）が起こりうるものとする。

$A=63$ の同重体のうち、ベータ崩壊に対して安定なもの（最も原子の質量が小さいもの）の原子番号 $Z$ を求めよ。

原子核を一様に帯電した非圧縮性の液滴とみなす液滴模型を考える。質量数 $A$、陽子数 $Z$ の球形の原子核の表面エネルギーを $E_S=a_S{A}^{2/3}$、クーロンエネルギーを $E_C=a_C\frac{Z^2}{A^{1/3}}$ とする。体積を一定に保ったまま、球を小さなパラメータ $\epsilon$（$|\epsilon |\ll 1$）で回転楕円体に変形させると、${\epsilon }^2$ の項までで
$$E_S\to E_S\left(1+\frac{2}{5}{\epsilon }^2\right),E_C\to E_C\left(1-\frac{1}{5}{\epsilon }^2\right)$$
と変化する。

$a_S=17.0\text{MeV}$, $a_C=0.68\text{MeV}$ とするとき、球形がこの変形に対して不安定になる（変形でエネルギーの和が下がる）ための $\frac{Z^2}{A}$ の臨界値を求めよ。

運動エネルギー $K$ の $\alpha$ 粒子のビームを薄い金箔に当てる散乱実験を行う。金の原子核は十分重く静止したままとみなし、$\alpha$ 粒子は原子核からクーロン斥力 $U=\frac{k}{r}$（$k>0$）だけを受けて 1 回だけ散乱されるものとする。このとき散乱の微分断面積はラザフォードの公式
$$\frac{d\sigma }{d\Omega }={\left(\frac{k}{4K}\right)}^2\frac{1}{{\sin }^4(\theta /2)}$$
で与えられる（$\theta$ は散乱角）。

同じ立体角をもつ小さな検出器を、散乱角 $\theta =\frac{\pi }{3}$ の位置と $\theta =\frac{2\pi }{3}$ の位置に置いた。同じ時間に $\theta =\frac{\pi }{3}$ の検出器で数えられる粒子数は、$\theta =\frac{2\pi }{3}$ の検出器で数えられる粒子数の何倍か。

質量数 $A$、原子番号 $Z$ の原子核の結合エネルギーを、ワイツゼッカーの半経験的質量公式
$$B(A,Z)=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-a_C\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}-a_A\frac{(A-2Z{)}^2}{A}$$
で表す（$a_V,a_S,a_C,a_A$ は正の定数）。$A$ は奇数とし、対エネルギーの項は考えない。中性原子の質量は
$$M(A,Z)c^2=Z{m}_{\mathrm{H}}{c}^2+(A-Z)m_n{c}^2-B(A,Z)$$
で与えられるとする（$m_{\mathrm{H}}$ は水素原子の質量、$m_n$ は中性子の質量。電子の結合エネルギーは無視する）。

$\Delta =(m_n-m_{\mathrm{H}})c^2$（$\Delta >0$）とおく。$A$ を固定し $Z$ を連続変数とみなしたとき、$M(A,Z)$ を最小にする（同重体の中で最も安定な）$Z$ の値 $Z_0$ を、$A,a_C,a_A,\Delta$ を用いて求めよ。

放射性核種 A は半減期 $2T$ で核種 B に崩壊し、B は半減期 $T$ で安定な核種 C に崩壊する（A, B ともに崩壊の経路はこれ 1 つだけとする。$T>0$）。時刻 $t=0$ に A だけが $N_0$ 個あり、B と C は存在しなかった。各核種の個数は十分多く、連続変数として崩壊の微分方程式で扱えるものとする。

$t>0$ において B の個数 $N_B(t)$ が最大になるときの値 $N_B^{\max }$ について、比 $N_B^{\max }/N_0$ を正確な値（分数）で求めよ。

質量数 $A$、原子番号 $Z$ の原子核の結合エネルギー $B(A,Z)$ が、ワイツゼッカーの半経験的質量公式
$$B(A,Z)=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-a_C\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}-a_A\frac{(A-2Z{)}^2}{A}+\delta (A,Z)$$
で与えられるとする。ここで $a_V,a_S,a_C,a_A$ は正の定数であり、対エネルギーの項 $\delta (A,Z)$ は $A$ が奇数のとき $0$ とする。

互いに鏡像核の関係にある ${}_{13}^{27}\mathrm{Al}$（陽子 13 個、中性子 14 個）と ${}_{14}^{27}\mathrm{Si}$（陽子 14 個、中性子 13 個）について、この公式による結合エネルギーの差 $B(27,13)-B(27,14)$ を MeV 単位で求めよ。ただし $a_C=0.72\mathrm{MeV}$ とし、答えは正確な値（小数）で答えよ。

次の表は、いくつかの粒子の静止質量（単位 $\mathrm{MeV}/c^2$）と、電荷 $Q$（電気素量 $e$ 単位）、バリオン数 $B$、電子型レプトン数 $L_e$、ミュー型レプトン数 $L_{\mu }$ である。反粒子は、質量が粒子と同じで、$Q,B,L_e,L_{\mu }$ がすべて粒子の符号を反転した値をもつ。${\pi }^0$ と光子 $\gamma$ は自分自身が反粒子であり、ニュートリノと光子の質量は $0$ とする。

（${\pi }^{-}$ は ${\pi }^{+}$ の反粒子である。）

静止している自由な粒子の次の崩壊 $(1)$〜$(8)$ について、「電荷・バリオン数・電子型レプトン数・ミュー型レプトン数がそれぞれ保存し、かつ崩壊前の粒子の静止質量が崩壊後の粒子の静止質量の和より大きい」ときに限り崩壊が起こりうるとする。この基準で起こりうる崩壊の番号をすべて求めよ。

$(1)$ $n\to p+e^{-}+{\bar{\nu }}_e$

$(2)$ $p\to n+e^{+}+{\nu }_e$

$(3)$ $p\to e^{+}+{\pi }^0$

$(4)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+{\bar{\nu }}_e+{\nu }_{\mu }$

$(5)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+\gamma$

$(6)$ ${\pi }^{+}\to {\mu }^{+}+{\nu }_{\mu }$

$(7)$ $\Lambda \to p+{\pi }^{-}$

$(8)$ ${\pi }^{-}\to e^{-}+{\nu }_e$

質量数 $A$、原子番号 $Z$ の原子核の結合エネルギーを、簡単化した半経験的質量公式
$$B(A,Z)=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-a_C\frac{Z^2}{A^{1/3}}-a_A\frac{(A-2Z{)}^2}{A}$$
で表す（$a_V,a_S,a_C,a_A$ は正の定数で、対エネルギーの項は考えない）。$A,Z$ はともに正の偶数とし、$A,Z$ を連続変数のように扱ってよいものとする。

原子核 $(A,Z)$ が、質量数 $\frac{A}{2}$、原子番号 $\frac{Z}{2}$ の 2 つの同じ原子核に分裂する対称核分裂を考える。この分裂で放出されるエネルギー
$$Q=2B\left(\frac{A}{2},\frac{Z}{2}\right)-B(A,Z)$$
が正になるための条件は、$\frac{Z^2}{A}$ がある値 $x_0$ より大きいことである。$x_0$ を $a_S,a_C$ を用いて表せ。

静止している ${}_3^6\mathrm{Li}$ 原子核が、運動エネルギーが無視できるほど小さい中性子（熱中性子）を吸収して、核反応
$$n+{}_3^6\mathrm{Li}\to {}_2^4\mathrm{He}+{}_1^3\mathrm{H}$$
を起こす。原子核の結合エネルギーを、${}_3^6\mathrm{Li}$: $31.994\mathrm{MeV}$、${}_2^4\mathrm{He}$: $28.296\mathrm{MeV}$、${}_1^3\mathrm{H}$: $8.482\mathrm{MeV}$ とする。

反応で生じた ${}_1^3\mathrm{H}$（三重水素の原子核）の運動エネルギーを MeV 単位で有効数字 3 桁で求めよ。ただし、運動は非相対論的に扱い、運動量の計算では ${}_2^4\mathrm{He}$ と ${}_1^3\mathrm{H}$ の質量の比を $4:3$ とみなす。

静止している ${\pi }^{+}$ 中間子が、2 体崩壊
$${\pi }^{+}\to {\mu }^{+}+X$$
を起こす。$X$ は ${\nu }_e,{\bar{\nu }}_e,{\nu }_{\mu },{\bar{\nu }}_{\mu }$ のうちの 1 つであり、電荷・バリオン数・電子型レプトン数 $L_e$・ミュー型レプトン数 $L_{\mu }$ がすべて保存するように決まる。量子数は次のとおりとする（記載のない量子数は $0$、反粒子は符号が反転する）。

• ${\pi }^{+}$: 電荷 $+1$
• ${\mu }^{-}$: 電荷 $-1$、$L_{\mu }=1$
• ${\nu }_e$: $L_e=1$、${\nu }_{\mu }$: $L_{\mu }=1$

静止質量エネルギーを $m_{\pi }{c}^2=139.57\mathrm{MeV}$、$m_{\mu }{c}^2=105.66\mathrm{MeV}$ とし、$X$ の質量は $0$ とする。崩壊で生じた ${\mu }^{+}$ の運動エネルギーを、特殊相対論に基づいて MeV 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

ある試料には 2 種類の放射性核種 X, Y が含まれている。X の半減期は $T$、Y の半減期は $2T$ であり（$T>0$）、どちらも 1 つの経路だけで安定な核種に崩壊する（X と Y は互いに崩壊して移り変わることはない）。時刻 $t=0$ において、X の放射能と Y の放射能は等しかった。

試料全体の放射能（X と Y の放射能の和）が、$t=0$ のときの値の半分になる時刻 $t$ を $T$ を用いて表せ。

${}_6^{11}\mathrm{C}$ 原子核は ${\beta }^{+}$ 崩壊して ${}_5^{11}\mathrm{B}$ 原子核になる:
$${}_6^{11}\mathrm{C}\to {}_5^{11}\mathrm{B}+e^{+}+{\nu }_e.$$
中性原子の質量（電子を含む原子全体の質量）が、${}_6^{11}\mathrm{C}$ 原子: $11.011434\mathrm{u}$、${}_5^{11}\mathrm{B}$ 原子: $11.009305\mathrm{u}$ と与えられている。電子（陽電子）の質量を $0.000549\mathrm{u}$、$1\mathrm{u}$ に相当するエネルギーを $931.5\mathrm{MeV}$ とし、ニュートリノの質量と、原子中の電子の結合エネルギーは無視する。

この崩壊の Q 値（崩壊で解放されるエネルギー）を MeV 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

静止している粒子が崩壊する次の過程 $(1)$〜$(8)$ を考える。

$(1)$ $n\to p+e^{-}+{\bar{\nu }}_e$

$(2)$ $p\to n+e^{+}+{\nu }_e$

$(3)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+{\bar{\nu }}_e+{\nu }_{\mu }$

$(4)$ ${\mu }^{-}\to e^{-}+\gamma$

$(5)$ ${\pi }^{+}\to {\mu }^{+}+{\nu }_{\mu }$

$(6)$ $p\to e^{+}+{\pi }^0$

$(7)$ ${\Lambda }^0\to p+{\pi }^{-}$

$(8)$ ${\pi }^{-}\to e^{-}+{\nu }_e$

ここでは、次の 5 つの条件をすべて満たす過程を「起こりうる」とし、1 つでも満たさない過程を「起こらない」とする。
- 電荷の保存
- バリオン数の保存（$p,n,{\Lambda }^0$ は $+1$、それ以外の粒子は $0$）
- 電子型レプトン数 $L_e$ の保存（$e^{-},{\nu }_e$ は $+1$、$e^{+},{\bar{\nu }}_e$ は $-1$、それ以外は $0$）
- ミュー型レプトン数 $L_{\mu }$ の保存（${\mu }^{-},{\nu }_{\mu }$ は $+1$、${\mu }^{+},{\bar{\nu }}_{\mu }$ は $-1$、それ以外は $0$）
- エネルギー保存：崩壊前の粒子の静止質量が、崩壊後の粒子の静止質量の和より大きい

静止質量（単位 $\text{MeV}/c^2$）は、$p$: $938.3$、$n$: $939.6$、$e^{\pm }$: $0.511$、${\mu }^{\pm }$: $105.7$、${\pi }^{\pm }$: $139.6$、${\pi }^0$: $135.0$、${\Lambda }^0$: $1115.7$ とし、ニュートリノと光子 $\gamma$ の質量は $0$ とする。電荷は $p,{\mu }^{+},{\pi }^{+},e^{+}$ が $+e$、$e^{-},{\mu }^{-},{\pi }^{-}$ が $-e$、その他は $0$ である。

起こりうる過程の番号をすべて求め、集合で答えよ。

静止している ${}^6\mathrm{Li}$ 原子核に、運動エネルギーが無視できるほど小さい中性子（熱中性子）が吸収され、次の核反応が起こる。
$${}^6\mathrm{Li}+n\to {}^4\mathrm{He}+{}^3\mathrm{H}$$
原子核の結合エネルギーは、${}^6\mathrm{Li}$ が $31.994\text{MeV}$、${}^4\mathrm{He}$ が $28.296\text{MeV}$、${}^3\mathrm{H}$ が $8.482\text{MeV}$ とする（中性子 1 個の結合エネルギーは $0$）。反応で生じる ${}^4\mathrm{He}$ と ${}^3\mathrm{H}$ の運動は非相対論的に扱い、それぞれの質量は質量数に比例するとみなす。

反応後の ${}^3\mathrm{H}$ の運動エネルギーは何 $\text{MeV}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

薄い金箔に $\alpha$ 粒子のビームを当て、ラザフォード散乱された $\alpha$ 粒子を検出器で数える実験を行う。$\alpha$ 粒子の運動エネルギーを $K$、金の原子核の電荷を $Ze$、$\alpha$ 粒子の電荷を $2e$、真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とすると、微分断面積は
$$\frac{d\sigma }{d\Omega }={\left(\frac{2Z{e}^2}{16\pi {\epsilon }_{0}K}\right)}^2\frac{1}{{\sin }^4(\theta /2)}$$
で与えられる（$\theta$ は散乱角）。

次の 2 つの測定を、同じ金箔・同じ検出器（立体角が同じ）・同じ測定時間・同じビーム強度（単位時間に金箔に入射する $\alpha$ 粒子の数が同じ）で行う。

測定 I：運動エネルギー $K_0$ の $\alpha$ 粒子を用い、散乱角 $60^{\circ }$ の位置で数える。

測定 II：運動エネルギー $2K_0$ の $\alpha$ 粒子を用い、散乱角 $90^{\circ }$ の位置で数える。

測定 I で数えた粒子数は、測定 II で数えた粒子数の何倍か。ただし、検出器の立体角は十分小さく、その範囲で微分断面積は一定とみなす。また、金箔は十分薄く、$\alpha$ 粒子は 1 回だけ散乱されるとする。

質量数が奇数 $A$ の原子核の結合エネルギーを、半経験的質量公式
$$B(A,Z)=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-a_C\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}-a_A\frac{(A-2Z{)}^2}{A}$$
で表す（$Z$ は原子番号、$a_V,a_S,a_C,a_A$ は正の定数。$A$ が奇数なので対エネルギーの項は $0$ である）。

$A=2Z+1$（$Z$ は正の整数）として、陽子数と中性子数を入れかえた関係にある 2 つの鏡像核 $(A,Z)$ と $(A,Z+1)$ を考える。たとえば $A=15$ なら ${}^{15}\mathrm{N}$ と ${}^{15}\mathrm{O}$ である。

結合エネルギーの差 $B(A,Z)-B(A,Z+1)$ を、$a_C$ と $A$ を用いて表せ。

加速器で作ったニュートリノ（または反ニュートリノ）のビームを標的に当てたときに起こる反応として、次の $(1)$〜$(8)$ が候補に挙がっている。

$(1)$ ${\nu }_{\mu }+n\to {\mu }^{-}+p$

$(2)$ ${\nu }_{\mu }+n\to e^{-}+p$

$(3)$ ${\nu }_{\mu }+p\to {\mu }^{+}+n$

$(4)$ ${\bar{\nu }}_{\mu }+p\to {\mu }^{+}+n$

$(5)$ ${\nu }_{\mu }+p\to {\mu }^{-}+p+{\pi }^{+}$

$(6)$ ${\nu }_{\mu }+e^{-}\to {\mu }^{-}+{\nu }_e$

$(7)$ ${\nu }_{\mu }+p\to {\mu }^{-}+{\pi }^{+}+{\pi }^{+}$

$(8)$ ${\nu }_{\mu }+n\to {\mu }^{-}+n$

ビームのエネルギーは十分大きく、エネルギーの不足で反応が起こらないことはないものとする。次の 4 つの保存則をすべて満たす反応を「起こりうる」とし、1 つでも破る反応を「起こらない」とする。
- 電荷の保存（$p,{\mu }^{+},{\pi }^{+}$ は $+e$、$e^{-},{\mu }^{-}$ は $-e$、$n$ とニュートリノ・反ニュートリノは $0$）
- バリオン数の保存（$p,n$ は $+1$、それ以外は $0$）
- 電子型レプトン数 $L_e$ の保存（$e^{-},{\nu }_e$ は $+1$、$e^{+},{\bar{\nu }}_e$ は $-1$、それ以外は $0$）
- ミュー型レプトン数 $L_{\mu }$ の保存（${\mu }^{-},{\nu }_{\mu }$ は $+1$、${\mu }^{+},{\bar{\nu }}_{\mu }$ は $-1$、それ以外は $0$）

起こりうる反応の番号をすべて求め、集合で答えよ。

放射性核種 X は半減期 $3T$ で崩壊して放射性核種 Y になり、Y は半減期 $T$ で崩壊して安定な核種 Z になる（$T>0$）。X, Y の崩壊の経路はそれぞれこの 1 つだけとする。時刻 $t=0$ において試料には X だけが $N_0$ 個（$N_0>0$）含まれ、Y と Z は含まれていない。試料の外との原子核の出入りはないものとする。

試料の中で単位時間あたりに起こる崩壊の総数（X の崩壊と Y の崩壊の合計）を $R(t)$ とする。$t>0$ において $R(t)$ が最大になる時刻を、$T$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。

静止している ${\tau }^{-}$ レプトン（静止質量 $1776.86\mathrm{MeV}/c^2$）が、ちょうど $4$ 個の粒子に崩壊する終状態を考える。終状態の粒子は、次の $17$ 種類から重複を許して選ぶものとする（括弧内は静止質量で、単位は $\mathrm{MeV}/c^2$）。

$$e^{-},e^{+}(0.511),{\mu }^{-},{\mu }^{+}(105.66),{\nu }_e,{\bar{\nu }}_e,{\nu }_{\mu },{\bar{\nu }}_{\mu },{\nu }_{\tau },{\bar{\nu }}_{\tau }(0),$$
$${\pi }^{+},{\pi }^{-}(139.57),{\pi }^0(134.98),p,\bar{p}(938.27),n,\bar{n}(939.57)$$

量子数は次のとおりとする。$e^{-},{\nu }_e$ は電子型レプトン数 $L_e=+1$、${\mu }^{-},{\nu }_{\mu }$ はミュー型レプトン数 $L_{\mu }=+1$、${\tau }^{-},{\nu }_{\tau }$ はタウ型レプトン数 $L_{\tau }=+1$ をもち、それ以外のレプトン数は $0$ である。$p,n$ はバリオン数 $B=+1$ で、レプトン数は $0$ である。${\pi }^{+},{\pi }^{-},{\pi }^0$ は $B=0$ で、レプトン数はすべて $0$ である。反粒子は、電荷・$B$・各レプトン数の符号が粒子と逆である（${\pi }^{+}$ と ${\pi }^{-}$ は互いに反粒子、${\pi }^0$ は自身が反粒子）。電荷は $e^{-},{\mu }^{-},{\tau }^{-},{\pi }^{-},\bar{p}$ が $-1$、$e^{+},{\mu }^{+},{\pi }^{+},p$ が $+1$、そのほかは $0$（電気素量単位）である。

崩壊が許されるための条件は、電荷・バリオン数 $B$・$L_e$・$L_{\mu }$・$L_{\tau }$ がそれぞれ保存されることと、終状態の粒子の静止質量の和が ${\tau }^{-}$ の静止質量より小さいこと（エネルギー保存）だけとする。角運動量や相互作用の種類による制限は考えない。終状態は、粒子の種類とその個数の組（順序は区別しない）で区別する。このとき、許される $4$ 粒子終状態は何通りあるか。

静止している ${}_{84}^{210}\mathrm{Po}$ 原子核が $\alpha$ 崩壊して ${}_{82}^{206}\mathrm{Pb}$ 原子核になる。
$${}_{84}^{210}\mathrm{Po}\to {}_{82}^{206}\mathrm{Pb}+{}_2^4\mathrm{He}$$
各原子核の結合エネルギーは次のとおりである。
$$B({}^{210}\mathrm{Po})=1645.21\mathrm{MeV},B({}^{206}\mathrm{Pb})=1622.32\mathrm{MeV},B({}^4\mathrm{He})=28.30\mathrm{MeV}$$
崩壊で放出されるエネルギー（Q 値）はすべて ${}^{206}\mathrm{Pb}$ 原子核と $\alpha$ 粒子の運動エネルギーになり、$\gamma$ 線は放出されないものとする。両粒子の運動は非相対論的に扱い、その質量の比は質量数の比 $206:4$ で近似してよい。放出される $\alpha$ 粒子の運動エネルギーは何 MeV か。有効数字 3 桁で求めよ。

運動エネルギー $K$ の $\alpha$ 粒子（電荷 $2e$）のビームを、厚さ $t$ の薄い金属箔に垂直に入射させる。箔の中の原子核（原子番号 $Z$、電荷 $Ze$）の数密度を $n$（単位体積あたりの個数）とする。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とし、SI 単位系を用いる。

$\alpha$ 粒子と 1 個の原子核の散乱は、原子核を静止したまま動かない点電荷とみなした非相対論的なクーロン散乱として扱い、その微分散乱断面積はラザフォードの式
$$\frac{d\sigma }{d\Omega }={\left(\frac{k}{4K}\right)}^2\frac{1}{{\sin }^4(\theta /2)},k=\frac{2Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0}$$
で与えられるとする（$\theta$ は散乱角）。箔は十分に薄く、各 $\alpha$ 粒子は高々 1 回しか散乱されず、原子核どうしの「影」の重なりは無視できるとする。また、電子による遮蔽と電子との散乱は無視する。

入射した $\alpha$ 粒子のうち、散乱角 $\theta \ge \frac{\pi }{2}$ の方向に散乱されるものの割合 $f$ を、$n,t,Z,e,{\epsilon }_0,K$ を用いて表せ。

ある鉱物が結晶化した時刻 $t=0$ に、放射性核種 X が取り込まれた。X は 2 つの経路で崩壊する。1 つは安定な核種 Y への崩壊で、その部分崩壊定数は ${\lambda }_Y=\frac{\log 2}{3T}$ である。もう 1 つは安定な核種 Z への崩壊で、その部分崩壊定数は ${\lambda }_Z=\frac{2\log 2}{3T}$ である（$T>0$）。ここで $\log$ は自然対数である。

結晶化した時刻に鉱物中に Y は含まれていなかった。また、その後に鉱物の外から X や Y が出入りすることはなく、Y が増える原因は X の崩壊だけであったとする。現在、この鉱物中の Y と X の原子核の個数の比が $N_Y:N_X=7:3$ であった。結晶化してから現在までの経過時間を $T$ を用いて表せ。

静止している ${\Sigma }^{-}$ 粒子（静止エネルギー $1197.4\mathrm{MeV}$、電荷 $-e$、バリオン数 $1$、レプトン数 $0$）の崩壊を考える。終状態の粒子は、次の表の粒子だけから選ぶものとする（同じ種類の粒子を 2 個以上含んでもよい）。

ここで $p,n,\Lambda$ のバリオン数は $1$、それ以外の粒子のバリオン数は $0$ である。電子型レプトン数 $L_e$ は $e^{-},{\nu }_e$ が $+1$、$e^{+},{\bar{\nu }}_e$ が $-1$、ミュー型レプトン数 $L_{\mu }$ は ${\mu }^{-},{\nu }_{\mu }$ が $+1$、${\mu }^{+},{\bar{\nu }}_{\mu }$ が $-1$ で、他の粒子はどちらも $0$ である。

崩壊が起こりうる条件として、次の 2 つだけを課す。

• 電荷・バリオン数・$L_e$・$L_{\mu }$ がそれぞれ保存する（弱い相互作用による崩壊も考えるので、ストレンジネスは保存しなくてよい）。
• 終状態の粒子の静止エネルギーの和が、${\Sigma }^{-}$ の静止エネルギーより小さい。

角運動量やパリティなど、これ以外の選択則は考えない。終状態は、含まれる粒子の種類と個数の組（並べ方は区別しない）で区別する。終状態の粒子数が $2$ 個または $3$ 個であって、上の条件をすべて満たす終状態は何通りあるか。

運動エネルギー $K$ の $\alpha$ 粒子（電荷 $2e$）を $N_0$ 個、厚さ $t$ の薄い金属箔に垂直に入射させる。箔の中の原子核（電荷 $Ze$）の数密度は $n$ である。

$\alpha$ 粒子と原子核の散乱は、次の仮定のもとでのラザフォード散乱とみなす。

• 原子核は十分重く、静止したまま動かない。
• 散乱は非相対論的なクーロン散乱である。
• 電子による遮蔽は無視する。
• 箔は十分薄く、各 $\alpha$ 粒子は高々 1 回しか散乱されない。

真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とする。散乱角 $\theta$ が $60^{\circ }\le \theta \le 90^{\circ }$ の範囲に散乱される $\alpha$ 粒子の個数の期待値を、$N_0,n,t,Z,e,K,{\epsilon }_0$ を用いて表せ。

原子炉内で試料に中性子を照射すると、放射性核種 X が単位時間あたり一定の個数 $R$（$R>0$）ずつ生成される。X は半減期 $T$（$T>0$）で安定な核種に崩壊し、X の崩壊の経路はこれ 1 つだけとする。

時刻 $t=0$ に X が 1 個もない状態から照射を始め、時刻 $t=2T$ に照射を止めた（照射を止めた後は X は生成されない）。その後はそのまま放置した。

時刻 $t=0$ から $t=3T$ までの間に崩壊した X の総数を、$R,T$ を用いて表せ。ただし、X の個数は十分多く、連続量として扱ってよいものとする。

放射性核種 X は 2 つの経路で崩壊する。一方は安定な核種 Y への崩壊、他方は安定な核種 Z への崩壊であり、それぞれの経路だけが存在すると仮定したときの半減期（部分半減期）は、Y への経路が $9T$、Z への経路が $\frac{9}{8}T$ である（$T>0$）。2 つの経路は互いに独立に起こるものとする。

ある鉱物は、生成されたときに X を含み、Y をまったく含んでいなかった。その後、鉱物から X, Y, Z が出入りすることはなかったとする。現在この鉱物に含まれる Y の原子数と X の原子数の比が $\frac{N_{\mathrm{Y}}}{N_{\mathrm{X}}}=r$（$r>0$）であるとき、鉱物が生成されてから現在までの経過時間を $T,r$ を用いて表せ。

半経験的質量公式のクーロン項 $-a_C\frac{Z^2}{A^{1/3}}$ の係数 $a_C$ を、次のモデルから見積もる。

原子番号 $Z$、質量数 $A$ の原子核を、半径 $R=r_0{A}^{1/3}$ の球の内部に全電荷 $Ze$ が一様に分布した球とみなす。原子核のクーロンエネルギーを、この一様帯電球の静電エネルギー（無限遠から電荷を少しずつ運んで球を組み上げるのに必要な仕事）で近似し、それを $a_C\frac{Z^2}{A^{1/3}}$ と書いたときの $a_C$ を求める。

$r_0=1.2\mathrm{fm}$、$\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}=1.44\mathrm{MeV}\cdot \mathrm{fm}$ として、$a_C$ を MeV 単位で求めよ。答えは正確な値（小数）で答えよ。

質量 $m$、運動エネルギー $K$ の荷電粒子が、原点に固定された原子核から斥力ポテンシャル $U(r)=\frac{k}{r}$（$k>0$）を受けて散乱される（非相対論的に扱う）。衝突径数 $b$ に対する厳密な散乱角 $\theta$ は
$$b=\frac{k}{2K}\cot \frac{\theta }{2}$$
で与えられる。

一方、散乱角が小さいときによく使われる次の近似（インパルス近似）を考える。粒子は速さ $v=\sqrt{2K/m}$ で衝突径数 $b$ の直線上を等速で通り過ぎるとみなし、その間に受ける力の、入射方向に垂直な成分を時間 $-\infty$ から $+\infty$ まで積分して、垂直方向の運動量変化 $\Delta p_{\perp }$ を求める。そして散乱角を ${\theta }_{\mathrm{imp}}=\frac{\Delta p_{\perp }}{mv}$ とする。

厳密な散乱角がちょうど $\frac{\pi }{2}$ となる衝突径数で入射した場合について、インパルス近似による散乱角と厳密な散乱角の比 $\frac{{\theta }_{\mathrm{imp}}}{\pi /2}$ を求めよ。

静止している ${\mu }^{-}$ が、3 体崩壊
$${\mu }^{-}\to e^{-}+X_1+X_2$$
を起こす。$X_1,X_2$ は ${\nu }_e,{\bar{\nu }}_e,{\nu }_{\mu },{\bar{\nu }}_{\mu }$ のいずれかであり（同じものでもよい）、電荷・電子型レプトン数 $L_e$・ミュー型レプトン数 $L_{\mu }$ がすべて保存するように決まる。量子数は、$e^{-}$: 電荷 $-1$、$L_e=1$、${\mu }^{-}$: 電荷 $-1$、$L_{\mu }=1$、${\nu }_e$: $L_e=1$、${\nu }_{\mu }$: $L_{\mu }=1$ とし（記載のない量子数は $0$、反粒子は符号が反転する）、ニュートリノの質量は $0$ とする。

静止質量エネルギーを $m_{\mu }{c}^2=105.66\mathrm{MeV}$、$m_e{c}^2=0.511\mathrm{MeV}$ とする。この崩壊で放出される電子の運動エネルギーがとりうる最大値を、特殊相対論に基づいて MeV 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

安定な原子核の試料に中性子を照射すると、放射性核種 X が単位時間あたり一定の個数 $P$ ずつ生成される（$P>0$）。X は半減期 $T$（$T>0$）で崩壊し、崩壊の経路は 1 つだけで、崩壊してできた原子核は X ではない。時刻 $t=0$ に照射を始め、時刻 $t=3T$ に照射をやめる。$t=0$ には X は存在しないものとする。

照射を行っている $0\le t\le 3T$ の間に崩壊した X の総数を、$P,T$ を用いて表せ。ただし、個数は連続量として扱い、照射によって元の安定な原子核の数が減ることは無視する。

質量数 $A$、原子番号 $Z$ の原子核の結合エネルギーを、半経験的質量公式
$$B(A,Z)=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-a_C\frac{Z^2}{A^{1/3}}-a_A\frac{(A-2Z{)}^2}{A}$$
で表す。ここで $a_V,a_S,a_C,a_A$ は正の定数であり、対エネルギーの項は無視する。

$A,Z$ がともに偶数の原子核 $(A,Z)$ が、2 つの同じ原子核 $(A/2,Z/2)$ に分裂する対称核分裂を考える。この分裂で放出されるエネルギー
$$Q=2B\left(\frac{A}{2},\frac{Z}{2}\right)-B(A,Z)$$
が正になるための条件は、$\frac{Z^2}{A}$ がある値 $x_0$ より大きいことである。$x_0$ を $a_S,a_C$ を用いて表せ。ただし、$A,Z$ は連続な正の量として扱ってよい。

質量数 $A$、原子番号 $Z$ の原子核の結合エネルギー $B(A,Z)$ を、半経験的質量公式
$$B(A,Z)=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-a_C\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}-a_A\frac{(A-2Z{)}^2}{A}+\delta (A,Z)$$
で表す。$a_V,a_S,a_A$ は正の定数、$a_C=0.711\mathrm{MeV}$ であり、対エネルギー項 $\delta (A,Z)$ は $A$ が奇数のとき $0$ とする。

陽子数と中性子数を入れかえた関係にある奇数 $A=2Z+1$（$Z$ は正の整数）の鏡映核の組を考える。陽子数 $Z+1$・中性子数 $Z$ の原子核（親核）が、陽子数 $Z$・中性子数 $Z+1$ の原子核（娘核）へ ${\beta }^{+}$ 崩壊
$${}^A(Z+1)\to {}^{A}Z+e^{+}+{\nu }_e$$
を起こすことがエネルギー的に可能である（崩壊の $Q$ 値が正である）ような $A$ のうち、最小のものを求めよ。

ただし、原子核の質量は $M(A,Z)=Z{m}_p+(A-Z)m_n-B(A,Z)/c^2$ で与えられるとし、$m_p{c}^2=938.272\mathrm{MeV}$、$m_n{c}^2=939.565\mathrm{MeV}$、$m_e{c}^2=0.511\mathrm{MeV}$、ニュートリノの質量は $0$ とする。結合エネルギーは上の質量公式の値そのものを用いるものとする。

静止している ${}_{88}^{226}\mathrm{Ra}$ 原子核が $\alpha$ 崩壊して ${}_{86}^{222}\mathrm{Rn}$ 原子核になる。各原子核の結合エネルギーは次のとおりとする。
$$B({}^{226}\mathrm{Ra})=1731.610\mathrm{MeV},B({}^{222}\mathrm{Rn})=1708.184\mathrm{MeV},B({}^4\mathrm{He})=28.296\mathrm{MeV}$$
測定の結果、この崩壊で放出される $\alpha$ 粒子のうち、運動エネルギー $4.601\mathrm{MeV}$ の $\alpha$ 粒子は、${}^{222}\mathrm{Rn}$ 原子核が励起状態にある崩壊で放出されたものであることがわかった。この励起状態の、基底状態から測った励起エネルギー $E_x$ を MeV 単位で求め、有効数字 3 桁で答えよ。

ただし、崩壊後の $\alpha$ 粒子と ${}^{222}\mathrm{Rn}$ 原子核の運動は非相対論的に扱い、運動エネルギーを分配する際の質量比は質量数の比で近似してよい。また、崩壊前の ${}^{226}\mathrm{Ra}$ 原子核は静止しており、崩壊は 2 体崩壊とする。

静止している ${}_3^7\mathrm{Li}$ 原子核に陽子を入射させて、核反応
$$p+{}_3^7\mathrm{Li}\to n+{}_4^7\mathrm{Be}$$
を起こす。${}_3^7\mathrm{Li}$ と ${}_4^7\mathrm{Be}$ の原子核の結合エネルギーはそれぞれ $39.245\mathrm{MeV}$、$37.600\mathrm{MeV}$ とする。

反応の Q 値は核子の静止質量と結合エネルギーから正確に求めるものとし、一方で運動学（運動量・運動エネルギー）の計算は非相対論的に行い、そこでは陽子・中性子・${}^7\mathrm{Li}$・${}^7\mathrm{Be}$ の質量の比を $1:1:7:7$ とみなす。

陽子の運動エネルギーがこの反応のしきい値（反応が起こりうる最小の運動エネルギー）にちょうど等しいとき、反応で生じた中性子の運動エネルギーを MeV 単位で求めよ。答えは正確な値（小数）で答えよ。

自由な陽子は崩壊しないが、十分なエネルギーをもつ電子を当てると、反応
$$e^{-}+p\to n+Y$$
が起こりうる。ここで $Y$ は ${\nu }_e,{\bar{\nu }}_e,{\nu }_{\mu },{\bar{\nu }}_{\mu },\gamma$ のいずれか 1 つの粒子であり、電荷・バリオン数・電子型レプトン数・ミュー型レプトン数がすべて保存するように決まる。各粒子の量子数は次のとおりである（反粒子は符号が反転する）。

• $e^{-}$: 電荷 $-1$、$L_e=1$
• $p$: 電荷 $+1$、バリオン数 $1$
• $n$: 電荷 $0$、バリオン数 $1$
• ${\nu }_e$: $L_e=1$、${\nu }_{\mu }$: $L_{\mu }=1$、$\gamma$: すべて $0$

（記載のない量子数は $0$ とする。）

静止質量エネルギーを $m_p{c}^2=938.27\mathrm{MeV}$、$m_n{c}^2=939.57\mathrm{MeV}$、$m_e{c}^2=0.511\mathrm{MeV}$ とし、$Y$ の質量は $0$ とする。静止している陽子に電子を入射させるとき、この反応が起こるための電子の運動エネルギーの最小値を、特殊相対論に基づいて MeV 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

静止している ${}_6^{12}\mathrm{C}$ 原子核に、運動エネルギー $6.50\mathrm{MeV}$ の重陽子 $d$（${}_1^2\mathrm{H}$ の原子核）を入射させ、核反応
$$d+{}_6^{12}\mathrm{C}\to p+{}_6^{13}{\mathrm{C}}^{\ast }$$
を起こした。入射方向に対して $90^{\circ }$ の方向に放出された陽子の運動エネルギーを測ったところ $4.80\mathrm{MeV}$ であった。このとき生成された ${}_6^{13}\mathrm{C}$ は、基底状態から励起エネルギー $E_x$ だけ高い励起状態 ${}_6^{13}{\mathrm{C}}^{\ast }$ にあった。

基底状態の原子核の結合エネルギーを、${}_1^2\mathrm{H}$: $2.224\mathrm{MeV}$、${}_6^{12}\mathrm{C}$: $92.162\mathrm{MeV}$、${}_6^{13}\mathrm{C}$: $97.108\mathrm{MeV}$ とする。運動は非相対論的に扱い、運動量と運動エネルギーの計算では各粒子の質量を質量数に比例するとみなす（$p:d:{}^{12}\mathrm{C}:{}^{13}{\mathrm{C}}^{\ast }=1:2:12:13$）。

$E_x$ を MeV 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

液滴模型で原子核の変形に対する安定性を考える。質量数 $A$、原子番号 $Z$ の球形の原子核の表面エネルギーと クーロンエネルギーを、半経験的質量公式にならって
$$E_S^{(0)}=a_S{A}^{2/3},E_C^{(0)}=a_C\frac{Z^2}{A^{1/3}}$$
とする（$a_S=18.0\mathrm{MeV}$、$a_C=0.72\mathrm{MeV}$）。

この原子核を、体積を一定に保ったまま、半径 $R$ の球から長半径 $R(1+\epsilon )$、短半径 $R(1+\epsilon {)}^{-1/2}$ の回転楕円体へわずかに変形させる（$|\epsilon |\ll 1$）。このとき、核物質は非圧縮で電荷は一様に分布するとし、表面エネルギーとクーロンエネルギーはそれぞれ $\epsilon$ の 2 次まで
$$E_S(\epsilon )=E_S^{(0)}\left(1+\frac{2}{5}{\epsilon }^2\right),E_C(\epsilon )=E_C^{(0)}\left(1-\frac{1}{5}{\epsilon }^2\right)$$
と変化するものとする。体積エネルギーなど、ほかの項は変形によって変化しないとする。

$A=300$ の原子核について、球形が微小変形に対して不安定になる（変形によって全エネルギーが下がる）ような原子番号 $Z$（正の整数）のうち、最小のものを求めよ。