原子核・素粒子の問題

原子炉の中で試料に中性子を照射し、放射性原子核 X を毎秒一定の個数 $R$（$R>0$）ずつ生成する。X は崩壊定数 $\lambda$（$\lambda >0$）で崩壊し、半減期は $T=\frac{\log 2}{\lambda }$ である。照射開始の時刻を $t=0$ とし、そのとき X は存在しない。X の個数 $N(t)$ は
$$\frac{dN}{dt}=R-\lambda N$$
に従う。

$N(t)$ が、十分に時間がたったときの値 $\underset{t\to \infty }{\lim }N(t)$ の $\frac{3}{4}$ に達する時刻は、半減期 $T$ の何倍か。

運動エネルギー $K$ の $\alpha$ 粒子のビームを薄い金箔に当てる散乱実験を行う。金の原子核は十分重く静止したままとみなし、$\alpha$ 粒子は原子核からクーロン斥力 $U=\frac{k}{r}$（$k>0$）だけを受けて 1 回だけ散乱されるものとする。このとき散乱の微分断面積はラザフォードの公式
$$\frac{d\sigma }{d\Omega }={\left(\frac{k}{4K}\right)}^2\frac{1}{{\sin }^4(\theta /2)}$$
で与えられる（$\theta$ は散乱角）。

同じ立体角をもつ小さな検出器を、散乱角 $\theta =\frac{\pi }{3}$ の位置と $\theta =\frac{2\pi }{3}$ の位置に置いた。同じ時間に $\theta =\frac{\pi }{3}$ の検出器で数えられる粒子数は、$\theta =\frac{2\pi }{3}$ の検出器で数えられる粒子数の何倍か。

質量数 $A$、陽子数 $Z$ の原子核の結合エネルギーを、ワイツゼッカーの質量公式
$$B(A,Z)=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-a_C\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}-a_A\frac{(A-2Z{)}^2}{A}+\delta$$
で表す。ここで $a_V,a_S,a_C,a_A$ は正の定数であり、対項 $\delta$ は $A$ が奇数の原子核では $\delta =0$ である。

互いに鏡像核である ${}_{13}^{27}\mathrm{Al}$ と ${}_{14}^{27}\mathrm{Si}$ について、結合エネルギーの差 $B(27,13)-B(27,14)$ は何 MeV か。$a_C=0.69\text{MeV}$ として、小数第 2 位まで求めよ。

ある試料には 2 種類の放射性核種 X, Y が含まれている。X の半減期は $T$、Y の半減期は $2T$ であり（$T>0$）、どちらも 1 つの経路だけで安定な核種に崩壊する（X と Y は互いに崩壊して移り変わることはない）。時刻 $t=0$ において、X の放射能と Y の放射能は等しかった。

試料全体の放射能（X と Y の放射能の和）が、$t=0$ のときの値の半分になる時刻 $t$ を $T$ を用いて表せ。

放射性核種 X は半減期 $3T$ で崩壊して放射性核種 Y になり、Y は半減期 $T$ で崩壊して安定な核種 Z になる（$T>0$）。X, Y の崩壊の経路はそれぞれこの 1 つだけとする。時刻 $t=0$ において試料には X だけが $N_0$ 個（$N_0>0$）含まれ、Y と Z は含まれていない。試料の外との原子核の出入りはないものとする。

試料の中で単位時間あたりに起こる崩壊の総数（X の崩壊と Y の崩壊の合計）を $R(t)$ とする。$t>0$ において $R(t)$ が最大になる時刻を、$T$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。