原子核・素粒子の問題

放射性核種 X は半減期 $3T$ で崩壊して放射性核種 Y になり、Y は半減期 $T$ で崩壊して安定な核種 Z になる（$T>0$）。X, Y の崩壊の経路はそれぞれこの 1 つだけとする。時刻 $t=0$ において試料には X だけが $N_0$ 個（$N_0>0$）含まれ、Y と Z は含まれていない。試料の外との原子核の出入りはないものとする。

試料の中で単位時間あたりに起こる崩壊の総数（X の崩壊と Y の崩壊の合計）を $R(t)$ とする。$t>0$ において $R(t)$ が最大になる時刻を、$T$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。

ある鉱物が結晶化した時刻 $t=0$ に、放射性核種 X が取り込まれた。X は 2 つの経路で崩壊する。1 つは安定な核種 Y への崩壊で、その部分崩壊定数は ${\lambda }_Y=\frac{\log 2}{3T}$ である。もう 1 つは安定な核種 Z への崩壊で、その部分崩壊定数は ${\lambda }_Z=\frac{2\log 2}{3T}$ である（$T>0$）。ここで $\log$ は自然対数である。

結晶化した時刻に鉱物中に Y は含まれていなかった。また、その後に鉱物の外から X や Y が出入りすることはなく、Y が増える原因は X の崩壊だけであったとする。現在、この鉱物中の Y と X の原子核の個数の比が $N_Y:N_X=7:3$ であった。結晶化してから現在までの経過時間を $T$ を用いて表せ。

放射性核種 A は半減期 $2T$ で核種 B に崩壊し、B は半減期 $T$ で安定な核種 C に崩壊する（A, B ともに崩壊の経路はこれ 1 つだけとする。$T>0$）。時刻 $t=0$ に A だけが $N_0$ 個あり、B と C は存在しなかった。各核種の個数は十分多く、連続変数として崩壊の微分方程式で扱えるものとする。

$t>0$ において B の個数 $N_B(t)$ が最大になるときの値 $N_B^{\max }$ について、比 $N_B^{\max }/N_0$ を正確な値（分数）で求めよ。

放射性核種 X は 2 つの経路で崩壊する。一方は安定な核種 Y への崩壊、他方は安定な核種 Z への崩壊であり、それぞれの経路だけが存在すると仮定したときの半減期（部分半減期）は、Y への経路が $9T$、Z への経路が $\frac{9}{8}T$ である（$T>0$）。2 つの経路は互いに独立に起こるものとする。

ある鉱物は、生成されたときに X を含み、Y をまったく含んでいなかった。その後、鉱物から X, Y, Z が出入りすることはなかったとする。現在この鉱物に含まれる Y の原子数と X の原子数の比が $\frac{N_{\mathrm{Y}}}{N_{\mathrm{X}}}=r$（$r>0$）であるとき、鉱物が生成されてから現在までの経過時間を $T,r$ を用いて表せ。

安定な原子核の試料に中性子を照射すると、放射性核種 X が単位時間あたり一定の個数 $P$ ずつ生成される（$P>0$）。X は半減期 $T$（$T>0$）で崩壊し、崩壊の経路は 1 つだけで、崩壊してできた原子核は X ではない。時刻 $t=0$ に照射を始め、時刻 $t=3T$ に照射をやめる。$t=0$ には X は存在しないものとする。

照射を行っている $0\le t\le 3T$ の間に崩壊した X の総数を、$P,T$ を用いて表せ。ただし、個数は連続量として扱い、照射によって元の安定な原子核の数が減ることは無視する。