原子核・素粒子の問題

放射性核種 X は 2 つの経路で崩壊する。一方は安定な核種 Y への崩壊、他方は安定な核種 Z への崩壊であり、それぞれの経路だけが存在すると仮定したときの半減期（部分半減期）は、Y への経路が $9T$、Z への経路が $\frac{9}{8}T$ である（$T>0$）。2 つの経路は互いに独立に起こるものとする。

ある鉱物は、生成されたときに X を含み、Y をまったく含んでいなかった。その後、鉱物から X, Y, Z が出入りすることはなかったとする。現在この鉱物に含まれる Y の原子数と X の原子数の比が $\frac{N_{\mathrm{Y}}}{N_{\mathrm{X}}}=r$（$r>0$）であるとき、鉱物が生成されてから現在までの経過時間を $T,r$ を用いて表せ。

放射性核種 X は半減期 $3T$ で崩壊して放射性核種 Y になり、Y は半減期 $T$ で崩壊して安定な核種 Z になる（$T>0$）。X, Y の崩壊の経路はそれぞれこの 1 つだけとする。時刻 $t=0$ において試料には X だけが $N_0$ 個（$N_0>0$）含まれ、Y と Z は含まれていない。試料の外との原子核の出入りはないものとする。

試料の中で単位時間あたりに起こる崩壊の総数（X の崩壊と Y の崩壊の合計）を $R(t)$ とする。$t>0$ において $R(t)$ が最大になる時刻を、$T$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。

ある試料には 2 種類の放射性核種 X, Y が含まれている。X の半減期は $T$、Y の半減期は $2T$ であり（$T>0$）、どちらも 1 つの経路だけで安定な核種に崩壊する（X と Y は互いに崩壊して移り変わることはない）。時刻 $t=0$ において、X の放射能と Y の放射能は等しかった。

試料全体の放射能（X と Y の放射能の和）が、$t=0$ のときの値の半分になる時刻 $t$ を $T$ を用いて表せ。

安定な原子核の試料に中性子を照射すると、放射性核種 X が単位時間あたり一定の個数 $P$ ずつ生成される（$P>0$）。X は半減期 $T$（$T>0$）で崩壊し、崩壊の経路は 1 つだけで、崩壊してできた原子核は X ではない。時刻 $t=0$ に照射を始め、時刻 $t=3T$ に照射をやめる。$t=0$ には X は存在しないものとする。

照射を行っている $0\le t\le 3T$ の間に崩壊した X の総数を、$P,T$ を用いて表せ。ただし、個数は連続量として扱い、照射によって元の安定な原子核の数が減ることは無視する。

原子炉内で試料に中性子を照射すると、放射性核種 X が単位時間あたり一定の個数 $R$（$R>0$）ずつ生成される。X は半減期 $T$（$T>0$）で安定な核種に崩壊し、X の崩壊の経路はこれ 1 つだけとする。

時刻 $t=0$ に X が 1 個もない状態から照射を始め、時刻 $t=2T$ に照射を止めた（照射を止めた後は X は生成されない）。その後はそのまま放置した。

時刻 $t=0$ から $t=3T$ までの間に崩壊した X の総数を、$R,T$ を用いて表せ。ただし、X の個数は十分多く、連続量として扱ってよいものとする。