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原子核・素粒子の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理原子核・素粒子

原子炉内で試料に中性子を照射すると、放射性核種 X が単位時間あたり一定の個数 $R$ （ $R > 0$ ）ずつ生成される。X は半減期 $T$ （ $T > 0$ ）で安定な核種に崩壊し、X の崩壊の経路はこれ 1 つだけとする。

時刻 $t = 0$ に X が 1 個もない状態から照射を始め、時刻 $t = 2 T$ に照射を止めた（照射を止めた後は X は生成されない）。その後はそのまま放置した。

時刻 $t = 0$ から $t = 3 T$ までの間に崩壊した X の総数を、 $R, T$ を用いて表せ。ただし、X の個数は十分多く、連続量として扱ってよいものとする。

この問題で使うもの

逐次崩壊と生成を伴う崩壊（説明と入口の問題）
放射性崩壊の法則と分岐崩壊（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（59 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

照射中は「生成」と「崩壊」が同時に起こる。 $N (t)$ についての微分方程式を立てよう。崩壊した総数は、生成した総数と最後に残っている個数から求められる。

ヒント 2

$\frac{d N}{d t} = R - λ N$ 、 $λ = \frac{lo g 2}{T}$ 。照射停止後は半減期 $T$ ごとに半分になる。

ヒント 3

$N (2 T) = \frac{3 R}{4 λ}$ 、したがって $N (3 T) = \frac{3 R}{8 λ}$ 。生成した総数は $2 R T$ 個である。

答えと解説

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R T (2 - \frac{3}{8 lo g 2})

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解説を読む

崩壊定数を $λ$ とすると、半減期 $T$ との関係は $λ = \frac{lo g 2}{T}$ である。X の個数を $N (t)$ とする。

1. 照射中 $(0 \leq t \leq 2 T)$

単位時間あたり $R$ 個生成され、 $λ N$ 個崩壊するので
$\frac{d N}{d t} = R - λ N, N (0) = 0.$
これを解くと
$N (t) = \frac{R}{λ} (1 - e^{- λ t}) .$
$e^{- λ \cdot 2 T} = e^{- 2 l o g 2} = \frac{1}{4}$ なので
$N (2 T) = \frac{R}{λ} \cdot \frac{3}{4} .$

2. 照射停止後 $(t \geq 2 T)$

生成がなくなるので $\frac{d N}{d t} = - λ N$ となり、時間 $T$ で半分になる。したがって
$N (3 T) = \frac{1}{2} N (2 T) = \frac{3}{8} \cdot \frac{R}{λ} = \frac{3 R T}{8 lo g 2} .$

3. 崩壊した総数

$0 \leq t \leq 3 T$ の間に生成された X は $R \cdot 2 T = 2 R T$ 個である。X の個数は（生成数） $-$ （崩壊数）で変化するので、
$(崩壊した総数) = 2 R T - N (3 T) = 2 R T - \frac{3 R T}{8 lo g 2} = R T (2 - \frac{3}{8 lo g 2}) .$

（確認: $\int_{0}^{3 T} λ N d t$ を直接計算しても同じ値になる。）

別解

崩壊定数 $λ = \frac{ln 2}{T}$ 。X の個数 $N$ は $\frac{d N}{d t} = R - λ N$ （ $0 \leq t \leq 2 T$ ）。 $N (0) = 0$ より $N (t) = \frac{R}{λ} (1 - e^{- λ t})$ 。

$t = 2 T$ で $e^{- 2 λ T} = \frac{1}{4}$ なので $N (2 T) = \frac{R}{λ} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 R}{4 λ}$ 。
照射停止後は半減期 $T$ で減るので $N (3 T) = \frac{1}{2} N (2 T) = \frac{3 R}{8 λ}$ 。

$0 \sim 3 T$ の間の生成総数は $2 R T$ で、崩壊総数 $=$ 生成総数 $- N (3 T)$ （初め 0 個）なので
崩壊数 $= 2 R T - \frac{3 R}{8 λ} = 2 R T - \frac{3 R T}{8 ln 2} = R T (2 - \frac{3}{8 ln 2})$ 。

数値: $\frac{3}{8 ln 2} \approx 0.541$ 、崩壊数 $\approx 1.459 R T$ 。

検算（積分）: $\int_{0}^{2 T} λ N d t = 2 R T - \frac{R}{λ} (1 - e^{- 2 λ T}) \cdot$ ... 具体的には $\int_{0}^{2 T} λ N d t = R \cdot 2 T - N (2 T) = 2 R T - \frac{3 R}{4 λ}$ 、 $\int_{2 T}^{3 T} λ N d t = N (2 T) - N (3 T) = \frac{3 R}{8 λ}$ 。和 $= 2 R T - \frac{3 R}{8 λ}$ で一致する。

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