放射性崩壊の法則と分岐崩壊

$\frac{d N}{d t} = - λ N$ を解いて $N = N_{0} e^{- λ t}$ 、 $λ = \frac{lo g 2}{T _{1/2}}$ を使い、複数の経路があるときの全崩壊定数 $λ = λ_{1} + λ_{2}$ や娘核の個数比から経過時間を求められる

前提

半減期（高校物理原子）
変数分離形（大学数学微分方程式）

この技能までの道筋（55 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
仕事とエネルギーの移り変わり（中学理科物理分野の用語と知識）
エネルギー資源と放射線（中学理科物理分野の用語と知識）
原子・分子と化学式（中学理科化学分野の用語と知識）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
連立方程式の解き方（加減法・代入法）（中学数学方程式）
原子核の構成と放射性崩壊（高校物理原子）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
1 次不等式（数学I 数と式）
指数方程式・指数不等式の基本（数学II 指数関数と対数関数）
半減期（高校物理原子）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）

説明

放射性原子核の数の減り方を、崩壊定数 $λ$ を使った微分方程式 $\frac{d N}{d t} = - λ N$ で表し、解 $N = N_{0} e^{- λ t}$ と半減期との関係 $λ = \frac{lo g 2}{T _{1/2}}$ を使えるようにします。さらに、1 つの原子核が $α$ 崩壊と $β$ 崩壊のように複数の経路で崩壊する（分岐崩壊）とき、全崩壊定数が各経路の崩壊定数の和 $λ = λ_{1} + λ_{2}$ になることを使い、各経路の娘核の数や、娘核と親核の個数比から経過時間を求めます。年代測定や、カリウム 40 のように複数の崩壊様式を持つ核の解析で使います。

なぜそうしてよいのか

崩壊定数 $λ$ は「1 個の原子核が単位時間あたりに崩壊する確率」です。 $N$ 個あれば、短い時間 $d t$ の間に崩壊する個数は平均 $λ N d t$ なので $d N = - λ N d t$ 、つまり $\frac{d N}{d t} = - λ N$ です。変数分離すると $\frac{d N}{N} = - λ d t$ 、両辺を積分して $lo g N = - λ t + C$ （ $N > 0$ 、 $C$ は積分定数）。 $t = 0$ で $N = N_{0}$ とすると $N = N_{0} e^{- λ t}$ になります。半減期 $T_{1/2}$ では $N_{0} e^{- λ T_{1/2}} = \frac{1}{2} N_{0}$ なので $λ T_{1/2} = lo g 2$ 、すなわち $λ = \frac{lo g 2}{T _{1/2}}$ 。このとき $e^{- λ t} = (e^{- l o g 2})^{t / T_{1/2}} = (\frac{1}{2})^{t / T_{1/2}}$ となり、すでに知っている半減期の式と一致します。

経路 1・経路 2 の崩壊確率（単位時間あたり）がそれぞれ $λ_{1}, λ_{2}$ なら、どちらかで崩壊する確率は短い時間 $d t$ では $λ_{1} d t + λ_{2} d t$ です（同時に両方で崩壊することはない）。よって $\frac{d N}{d t} = - (λ_{1} + λ_{2}) N$ で、親核は全崩壊定数 $λ = λ_{1} + λ_{2}$ で $N = N_{0} e^{- λ t}$ と減ります。崩壊の「速さ」が足し算になるので、半減期は $\frac{1}{T _{1/2}} = \frac{1}{T _{1}} + \frac{1}{T _{2}}$ のように逆数どうしが足されます（ $T_{1}, T_{2}$ は $lo g 2/ λ_{1}$ , $lo g 2/ λ_{2}$ ）。

経路 1 でできる娘核（安定とする）の数 $D_{1}$ は、親核のうち経路 1 で崩壊した分だけ増えるので $\frac{d D _{1}}{d t} = λ_{1} N = λ_{1} N_{0} e^{- λ t}$ 。 $D_{1} (0) = 0$ として積分すると
$D_{1} = \frac{λ _{1}}{λ} N_{0} (1 - e^{- λ t})$
です。崩壊した核 $N_{0} - N$ のうち、どの時刻でも割合 $λ_{1} / λ$ （分岐比）が経路 1 に行く、と読めます。親核との比をとると $N_{0}$ が消えて $\frac{D _{1}}{N} = \frac{λ _{1}}{λ} (e^{λ t} - 1)$ となり、この比を測れば経過時間がわかります。

手順

崩壊の経路と、それぞれの崩壊定数 $λ_{i}$ を確認する。半減期で与えられていれば $λ_{i} = \frac{lo g 2}{T _{i}}$ で直す。
全崩壊定数 $λ = λ_{1} + λ_{2}$ を求め、親核の数を $N = N_{0} e^{- λ t}$ と書く（全体の半減期は $lo g 2/ λ$ ）。
経路 $i$ の娘核（安定、はじめ $0$ 個）の数を $D_{i} = \frac{λ _{i}}{λ} N_{0} (1 - e^{- λ t})$ と書く。
問われている比（例: $D_{1} / N$ ）を作って $N_{0}$ を消し、 $e^{λ t}$ について解く。 $\frac{D _{1}}{N} = \frac{λ _{1}}{λ} (e^{λ t} - 1)$ 。
両辺の自然対数をとって $t$ を求める。 $t = \frac{1}{λ} lo g (\dots)$ 。

例題

ある放射性原子核 X は、崩壊定数 $\frac{1}{100} 年^{- 1}$ で娘核 Y に、崩壊定数 $\frac{3}{100} 年^{- 1}$ で娘核 Z に崩壊する。Y, Z は安定で、時刻 $t = 0$ には X だけがあり Y, Z は存在しなかった。Y の個数と X の個数の比（Y/X）が $\frac{1}{2}$ になるのは $t = 0$ から何年後か。自然対数 $lo g$ を用いた正確な値で答えよ。

例題の解答

（手順 1）経路は X→Y（ $λ_{1} = \frac{1}{100}$ ）と X→Z（ $λ_{2} = \frac{3}{100}$ ）。単位は年 $^{- 1}$ 。

（手順 2）全崩壊定数は $λ = λ_{1} + λ_{2} = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$ で、X の個数は $N = N_{0} e^{- t /25}$ （ $t$ は年）。

（手順 3）Y の個数は $D_{Y} = \frac{λ _{1}}{λ} N_{0} (1 - e^{- t /25}) = \frac{1}{4} N_{0} (1 - e^{- t /25})$ 。

（手順 4）比をとると
$\frac{D _{Y}}{N} = \frac{1}{4} (e^{t /25} - 1) = \frac{1}{2}$
より $e^{t /25} = 3$ 。

（手順 5）自然対数をとって $\frac{t}{25} = lo g 3$ 、よって $t = 25 lo g 3$ （年）。（約 27 年）

答え: $25 lo g 3$

よくある誤り

親核が経路 1 の崩壊定数だけで減るとしてしまう誤り（ $N = N_{0} e^{- λ_{1} t}$ ）。正しくは両方の経路で減るので $N = N_{0} e^{- (λ_{1} + λ_{2}) t}$ 。
分岐があるとき半減期をそのまま足してしまう誤り（ $T_{1/2} = T_{1} + T_{2}$ ）。正しくは崩壊定数が足されるので $\frac{1}{T _{1/2}} = \frac{1}{T _{1}} + \frac{1}{T _{2}}$ 、すなわち $T_{1/2} = \frac{T _{1} T _{2}}{T _{1} + T _{2}}$ 。
娘核 Y の数を $D_{Y} = N_{0} - N$ （崩壊した核すべて）としてしまう誤り。正しくは経路 1 に行く割合 $λ_{1} / (λ_{1} + λ_{2})$ を掛けて $D_{Y} = \frac{λ _{1}}{λ _{1} + λ _{2}} (N_{0} - N)$ 。例題でこの誤りをすると $e^{t /25} - 1 = \frac{1}{2}$ となり、 $t = 25 lo g \frac{3}{2}$ という誤った値になる。
$λ = \frac{lo g 2}{T _{1/2}}$ を $λ = \frac{T _{1/2}}{lo g 2}$ や $λ = \frac{1}{T _{1/2}}$ としてしまう誤り。 $e^{- λ T_{1/2}} = \frac{1}{2}$ から $λ T_{1/2} = lo g 2$ と確かめるとよい。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある放射性原子核 X は、2 つの経路で崩壊する。経路 1（ $β^{-}$ 崩壊）の崩壊定数を $λ_{1}$ 、経路 2（ $α$ 崩壊）の崩壊定数を $λ_{2}$ とし、各経路の崩壊は互いに独立に起こるものとする。崩壊していない X の個数 $N (t)$ は
$\frac{d N}{d t} = - (λ_{1} + λ_{2}) N$
に従う。
経路 1 だけがあったとしたときの半減期は $6$ 時間、経路 2 だけがあったとしたときの半減期は $3$ 時間であり、 $λ_{1} = \frac{lo g 2}{6 時間}$ , $λ_{2} = \frac{lo g 2}{3 時間}$ である。X の実際の半減期は何時間か。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

逐次崩壊と生成を伴う崩壊（大学物理原子核・素粒子）
ビッグバン元素合成とヘリウムの質量比（大学院物理宇宙論）