逐次崩壊と生成を伴う崩壊

$\frac{d N _{B}}{d t} = λ_{A} N_{A} - λ_{B} N_{B}$ や一定率 $R$ の生成を含む $\frac{d N}{d t} = R - λ N$ を解き、娘核の個数の最大値や、ある時間までに崩壊した総数を求められる

前提

放射性崩壊の法則と分岐崩壊（大学物理原子核・素粒子）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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放射性崩壊の法則と分岐崩壊（大学物理原子核・素粒子）
部分積分（数学III 積分法）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）

説明

親核 A が崩壊して娘核 B ができ、その B もまた崩壊する（逐次崩壊）とき、B の個数 $N_{B}$ は「A からの流入」と「自分の崩壊による流出」の差で増減します。また原子炉や加速器で放射性核が一定の割合 $R$ で作られ続けるときも、生成と崩壊の差で個数が決まります。この技能では、それぞれを 1 階線形微分方程式 $\frac{d N _{B}}{d t} = λ_{A} N_{A} - λ_{B} N_{B}$ 、 $\frac{d N}{d t} = R - λ N$ として解き、娘核の個数が最大になる時刻や、ある時間までに崩壊した核の総数を求めます。

なぜそうしてよいのか

短い時間 $d t$ の間に、A は $λ_{A} N_{A} d t$ 個崩壊し、その分だけ B が生まれます。同じ間に B は $λ_{B} N_{B} d t$ 個崩壊して減ります。よって $\frac{d N _{B}}{d t} = λ_{A} N_{A} - λ_{B} N_{B}$ で、 $N_{A} = N_{0} e^{- λ_{A} t}$ を代入すると
$\frac{d N _{B}}{d t} + λ_{B} N_{B} = λ_{A} N_{0} e^{- λ_{A} t}$
という 1 階線形微分方程式になります。積分因子 $e^{λ_{B} t}$ を両辺に掛けると左辺は $\frac{d}{d t} (N_{B} e^{λ_{B} t})$ となり、右辺は $λ_{A} N_{0} e^{(λ_{B} - λ_{A}) t}$ 。 $N_{B} (0) = 0$ として $0$ から $t$ まで積分すると、 $λ_{A} \neq = λ_{B}$ のとき
$N_{B} = \frac{λ _{A} N _{0}}{λ _{B} - λ _{A}} (e^{- λ_{A} t} - e^{- λ_{B} t})$
です（ $λ_{A} = λ_{B} = λ$ のときは右辺が定数 $λ N_{0}$ となり $N_{B} = λ N_{0} t e^{- λ t}$ ）。 $N_{B}$ ははじめ $0$ で、最後はまた $0$ に戻るので途中で最大になります。最大のときは $\frac{d N _{B}}{d t} = 0$ 、つまり流入と流出がつり合う $λ_{A} N_{A} = λ_{B} N_{B}$ のときで、上の式を微分して $0$ とおくと $λ_{A} e^{- λ_{A} t} = λ_{B} e^{- λ_{B} t}$ 、すなわち
$t_{m a x} = \frac{lo g ( λ _{B} / λ _{A} )}{λ _{B} - λ _{A}}$
です。

一定率の生成 $\frac{d N}{d t} = R - λ N$ も同じように、積分因子 $e^{λ t}$ を掛けて $\frac{d}{d t} (N e^{λ t}) = R e^{λ t}$ 、 $N (0) = 0$ として $N = \frac{R}{λ} (1 - e^{- λ t})$ となります。時間がたつと生成と崩壊がつり合って $N \to R / λ$ に近づきます（飽和）。時刻 $t$ までに崩壊した総数は、崩壊の割合 $λ N$ を積分して求めるか、「作られた数 $R t$ から今残っている数 $N (t)$ を引く」と考えて $R t - N (t)$ と求められます（両者は一致します）。

手順

各核について「単位時間に増える数 − 単位時間に減る数」で微分方程式を立てる。例: $\frac{d N _{B}}{d t} = λ_{A} N_{A} - λ_{B} N_{B}$ 、 $\frac{d N}{d t} = R - λ N$ 。
親核の個数 $N_{A} = N_{0} e^{- λ_{A} t}$ を代入し、 $N^{'} + λ N = q (t)$ の形に整える。
積分因子 $e^{λ t}$ を掛けて $(N e^{λ t})^{'} = q (t) e^{λ t}$ とし、初期条件（多くは $N (0) = 0$ ）を使って $0$ から $t$ まで積分する。 $λ_{A} \neq = λ_{B}$ なら $N_{B} = \frac{λ _{A} N _{0}}{λ _{B} - λ _{A}} (e^{- λ_{A} t} - e^{- λ_{B} t})$ 、一定生成なら $N = \frac{R}{λ} (1 - e^{- λ t})$ 。
最大値を求めるときは $\frac{d N _{B}}{d t} = 0$ とおき、 $λ_{A} e^{- λ_{A} t} = λ_{B} e^{- λ_{B} t}$ から $t_{m a x} = \frac{lo g ( λ _{B} / λ _{A} )}{λ _{B} - λ _{A}}$ を求め、 $N_{B}$ に代入する。
崩壊した総数を求めるときは $\int_{0}^{t} λ N d t^{'}$ を計算するか、「入ってきた数 − 残っている数」（一定生成なら $R t - N (t)$ ）で求める。

例題

崩壊定数 $λ$ の親核 A が崩壊して娘核 B になり、B は崩壊定数 $2 λ$ で崩壊する（B の崩壊でできる核は安定とする）。時刻 $t = 0$ に A が $N_{0}$ 個あり、B は $0$ 個であった。B の個数が最大になる時刻を $λ$ で表せ。

例題の解答

（手順 1） $\frac{d N _{B}}{d t} = λ N_{A} - 2 λ N_{B}$ 。

（手順 2） $N_{A} = N_{0} e^{- λ t}$ を代入して $\frac{d N _{B}}{d t} + 2 λ N_{B} = λ N_{0} e^{- λ t}$ 。

（手順 3）積分因子 $e^{2 λ t}$ を掛けて $(N_{B} e^{2 λ t})^{'} = λ N_{0} e^{λ t}$ 。 $N_{B} (0) = 0$ として積分すると $N_{B} e^{2 λ t} = N_{0} (e^{λ t} - 1)$ 、よって $N_{B} = N_{0} (e^{- λ t} - e^{- 2 λ t})$ 。

（手順 4） $\frac{d N _{B}}{d t} = N_{0} (- λ e^{- λ t} + 2 λ e^{- 2 λ t}) = 0$ より $e^{- λ t} = 2 e^{- 2 λ t}$ 、つまり $e^{λ t} = 2$ 。これより前では $\frac{d N _{B}}{d t} > 0$ 、後では $< 0$ なので最大。 $t = \frac{lo g 2}{λ}$ （公式 $\frac{lo g ( 2 λ / λ )}{2 λ - λ}$ と一致）。このとき $N_{B} = N_{0} (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} N_{0}$ 。

答え: $\frac{lo g 2}{λ}$

よくある誤り

娘核の式で流出の項を忘れて $\frac{d N _{B}}{d t} = λ_{A} N_{A}$ としてしまう誤り（ $N_{B} = N_{0} (1 - e^{- λ_{A} t})$ と単調に増え、最大にならない）。正しくは $\frac{d N _{B}}{d t} = λ_{A} N_{A} - λ_{B} N_{B}$ 。
流入の項を $λ_{B} N_{A}$ や $λ_{A} N_{B}$ としてしまう誤り。B が生まれる割合は A の崩壊の割合なので、正しくは $λ_{A} N_{A}$ （A の崩壊定数と A の個数）。
最大になる条件を「 $N_{A} = N_{B}$ のとき」としてしまう誤り。正しくは流入と流出がつり合う $λ_{A} N_{A} = λ_{B} N_{B}$ のときで、例題では $N_{B} = \frac{1}{2} N_{A}$ のとき（ $N_{A} = \frac{1}{2} N_{0}$ , $N_{B} = \frac{1}{4} N_{0}$ ）。
一定率の生成で、時刻 $t$ までに崩壊した総数を $R t$ や $\frac{R}{λ}$ としてしまう誤り。正しくは作られた数から残っている数を引いて $R t - \frac{R}{λ} (1 - e^{- λ t})$ 。また $λ_{A} = λ_{B}$ のときに $\frac{1}{λ _{B} - λ _{A}}$ の式をそのまま使ってしまうのも誤りで、その場合は $N_{B} = λ N_{0} t e^{- λ t}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
原子炉の中で試料に中性子を照射し、放射性原子核 X を毎秒一定の個数 $R$ （ $R > 0$ ）ずつ生成する。X は崩壊定数 $λ$ （ $λ > 0$ ）で崩壊し、半減期は $T = \frac{lo g 2}{λ}$ である。照射開始の時刻を $t = 0$ とし、そのとき X は存在しない。X の個数 $N (t)$ は
$\frac{d N}{d t} = R - λ N$
に従う。
$N (t)$ が、十分に時間がたったときの値 $t \to \infty lim N (t)$ の $\frac{3}{4}$ に達する時刻は、半減期 $T$ の何倍か。

逐次崩壊と生成を伴う崩壊

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題