原子核・素粒子の問題

ある放射性原子核 X は、2 つの経路で崩壊する。経路 1（${\beta }^{-}$ 崩壊）の崩壊定数を ${\lambda }_1$、経路 2（$\alpha$ 崩壊）の崩壊定数を ${\lambda }_2$ とし、各経路の崩壊は互いに独立に起こるものとする。崩壊していない X の個数 $N(t)$ は
$$\frac{dN}{dt}=-({\lambda }_1+{\lambda }_2)N$$
に従う。

経路 1 だけがあったとしたときの半減期は $6$ 時間、経路 2 だけがあったとしたときの半減期は $3$ 時間であり、${\lambda }_1=\frac{\log 2}{6\text{時間}}$, ${\lambda }_2=\frac{\log 2}{3\text{時間}}$ である。X の実際の半減期は何時間か。

安定な原子核の試料に中性子を照射すると、放射性核種 X が単位時間あたり一定の個数 $P$ ずつ生成される（$P>0$）。X は半減期 $T$（$T>0$）で崩壊し、崩壊の経路は 1 つだけで、崩壊してできた原子核は X ではない。時刻 $t=0$ に照射を始め、時刻 $t=3T$ に照射をやめる。$t=0$ には X は存在しないものとする。

照射を行っている $0\le t\le 3T$ の間に崩壊した X の総数を、$P,T$ を用いて表せ。ただし、個数は連続量として扱い、照射によって元の安定な原子核の数が減ることは無視する。

ある試料には 2 種類の放射性核種 X, Y が含まれている。X の半減期は $T$、Y の半減期は $2T$ であり（$T>0$）、どちらも 1 つの経路だけで安定な核種に崩壊する（X と Y は互いに崩壊して移り変わることはない）。時刻 $t=0$ において、X の放射能と Y の放射能は等しかった。

試料全体の放射能（X と Y の放射能の和）が、$t=0$ のときの値の半分になる時刻 $t$ を $T$ を用いて表せ。

運動エネルギー $K$ の $\alpha$ 粒子のビームを薄い金箔に当てる散乱実験を行う。金の原子核は十分重く静止したままとみなし、$\alpha$ 粒子は原子核からクーロン斥力 $U=\frac{k}{r}$（$k>0$）だけを受けて 1 回だけ散乱されるものとする。このとき散乱の微分断面積はラザフォードの公式
$$\frac{d\sigma }{d\Omega }={\left(\frac{k}{4K}\right)}^2\frac{1}{{\sin }^4(\theta /2)}$$
で与えられる（$\theta$ は散乱角）。

同じ立体角をもつ小さな検出器を、散乱角 $\theta =\frac{\pi }{3}$ の位置と $\theta =\frac{2\pi }{3}$ の位置に置いた。同じ時間に $\theta =\frac{\pi }{3}$ の検出器で数えられる粒子数は、$\theta =\frac{2\pi }{3}$ の検出器で数えられる粒子数の何倍か。

原子炉内で試料に中性子を照射すると、放射性核種 X が単位時間あたり一定の個数 $R$（$R>0$）ずつ生成される。X は半減期 $T$（$T>0$）で安定な核種に崩壊し、X の崩壊の経路はこれ 1 つだけとする。

時刻 $t=0$ に X が 1 個もない状態から照射を始め、時刻 $t=2T$ に照射を止めた（照射を止めた後は X は生成されない）。その後はそのまま放置した。

時刻 $t=0$ から $t=3T$ までの間に崩壊した X の総数を、$R,T$ を用いて表せ。ただし、X の個数は十分多く、連続量として扱ってよいものとする。