ビッグバン元素合成とヘリウムの質量比

中性子・陽子比の凍結 $n / p = e^{- Q / T_{f}}$ と凍結後の中性子の崩壊を考え、すべての中性子が $^{4} He$ に取り込まれるとしてヘリウムの質量比 $Y_{p} = \frac{2 ( n / p )}{1 + n / p}$ を見積もれる。凍結温度を反応率と $H (T)$ の比較から決められる

前提

有効な相対論的自由度 g* と g*s （大学院物理宇宙論）
各時代のスケール因子の時間依存性（大学院物理宇宙論）
放射性崩壊の法則と分岐崩壊（大学物理原子核・素粒子）

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算数中学高校大学大学院

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初期宇宙の粒子種とエントロピー保存（大学物理宇宙物理・宇宙論）
有効な相対論的自由度 g* と g*s （大学院物理宇宙論）
ハッブル・ルメートルの法則と宇宙の年齢（高校地学恒星と宇宙）
フリードマン方程式と臨界密度（大学物理宇宙物理・宇宙論）
密度パラメータと多成分の宇宙（大学物理宇宙物理・宇宙論）
各時代のスケール因子の時間依存性（大学院物理宇宙論）
仕事とエネルギーの移り変わり（中学理科物理分野の用語と知識）
エネルギー資源と放射線（中学理科物理分野の用語と知識）
原子・分子と化学式（中学理科化学分野の用語と知識）
連立方程式の解き方（加減法・代入法）（中学数学方程式）
原子核の構成と放射性崩壊（高校物理原子）
1 次不等式（数学I 数と式）
指数方程式・指数不等式の基本（数学II 指数関数と対数関数）
半減期（高校物理原子）
放射性崩壊の法則と分岐崩壊（大学物理原子核・素粒子）

説明

宇宙が生まれて数分の間に、陽子と中性子から軽い原子核（おもに $^{4} He$ ）が作られました（ビッグバン元素合成）。この技能では、弱い相互作用で決まる中性子と陽子の個数比 $n / p$ がいつ「凍結」するかを反応率と膨張率の比較から決め、その後の中性子の崩壊を考えて、宇宙の原始ヘリウムの質量比 $Y_{p}$ （約 $0.25$ ）を見積もれるようになります。観測されるヘリウム量から初期宇宙の膨張率や相対論的自由度の数を調べるときの基本となる計算です。

なぜそうしてよいのか

温度が $T ≳ 1 MeV$ （ $ℏ = c = k_{B} = 1$ ）の頃は、 $n + ν_{e} \leftrightarrow p + e^{-}$ 、 $n + e^{+} \leftrightarrow p + ν ˉ_{e}$ などの弱い相互作用が膨張に比べて速く、中性子と陽子は熱平衡にあります。どちらも非相対論的なので、個数密度はボルツマン因子 $\propto (m)^{3/2} e^{- m / T}$ に比例し（スピンの自由度はどちらも 2）、質量差 $Q = m_{n} - m_{p} ≃ 1.293 MeV$ を使って（化学ポテンシャルが無視でき、 $(m_{n} / m_{p})^{3/2} ≃ 1$ とすると）
$\frac{n}{p} = e^{- Q / T}$
となります。温度が下がるほど重い中性子は減っていきます。

ところが弱い相互作用の反応率は $Γ \sim G_{F}^{2} T^{5}$ （ $G_{F}$ はフェルミ結合定数）と温度とともに急に小さくなり、一方、放射優勢期の膨張率は $H = \frac{8 π G}{3} ρ$ , $ρ = \frac{π ^{2}}{30} g_{*} T^{4}$ から $H = \frac{8 π ^{3} g _{*}}{90} \frac{T ^{2}}{m _{Pl}} ≃ 1.66 g_{*} \frac{T ^{2}}{m _{Pl}}$ （ $m_{Pl} = G^{- 1/2}$ ）と $T^{2}$ でしか減りません。 $Γ > H$ のうちは反応が平衡を保ちますが、 $Γ ≃ H$ となる温度 $T_{f}$ を過ぎると反応が間に合わず、 $n / p$ はその時点の値 $e^{- Q / T_{f}}$ で凍結します。 $G_{F}^{2} T_{f}^{5} ≃ 1.66 g_{*} T_{f}^{2} / m_{Pl}$ から $T_{f} ≃ (\frac{1.66 g _{*}}{G _{F}^{2} m _{Pl}})^{1/3}$ で、 $g_{*} = 10.75$ を入れると $T_{f} \approx 1.5 MeV$ となり、凍結が $1 MeV$ 前後で起こることがわかります。ただし $Γ \sim G_{F}^{2} T^{5}$ は係数を省いた桁の見積もりで、反応率の係数まで正しく入れた計算では $T_{f} \approx 0.7$ 〜 $0.8 MeV$ となり、凍結時の比は $n / p = e^{- 1.293/0.8} \approx \frac{1}{5}$ から $e^{- 1.293/0.72} \approx \frac{1}{6}$ 程度、すなわち $n / p \approx \frac{1}{5}$ 〜 $\frac{1}{6}$ です。 $T_{f}$ は $T_{f}^{3}$ の形で決まり、 $n / p$ は $e^{- Q / T_{f}}$ で効くので、数値を出すときは問題で与えられた $T_{f}$ や係数を使います。

凍結後も自由な中性子は平均寿命 $τ_{n} \approx 880 s$ で $n \to p + e^{-} + ν ˉ_{e}$ と崩壊するので、中性子の割合 $X_{n} = \frac{n}{n + p}$ は $X_{n} (t) = X_{n} (t_{f}) e^{- (t - t_{f}) / τ_{n}}$ と減り（崩壊した分は陽子になるので核子の総数 $n + p$ は変わらない）、 $n / p$ は元素合成が始まる $T \approx 0.07 MeV$ （数分後）には約 $1/7$ になります。このときほぼすべての中性子が $^{4} He$ （陽子 2・中性子 2）に取り込まれるとすると、ヘリウム核の数は $n /2$ 、その質量は（核子の質量差と結合エネルギーを無視して） $4 m_{N} \cdot \frac{n}{2} = 2 n m_{N}$ なので、質量比は
$Y_{p} = \frac{2 n}{n + p} = \frac{2 ( n / p )}{1 + n / p}$
となります。 $n / p = 1/7$ なら $Y_{p} = 1/4$ です。

手順

凍結温度 $T_{f}$ を、弱い相互作用の反応率 $Γ$ と膨張率 $H ≃ 1.66 g_{*} T^{2} / m_{Pl}$ が等しくなる条件 $Γ (T_{f}) = H (T_{f})$ から決める（ $Γ \sim G_{F}^{2} T^{5}$ は桁の見積もりなので、係数や $T_{f}$ が問題で与えられていればそれを使う）
凍結時の比 $(\frac{n}{p})_{f} = e^{- Q / T_{f}}$ を計算し、中性子の割合 $X_{n} = \frac{n / p}{1 + n / p}$ に直す
凍結から元素合成開始までの時間 $Δ t$ の中性子崩壊を入れて $X_{n} \to X_{n} e^{- Δ t / τ_{n}}$ とする（陽子は崩壊した分だけ増え、核子の総数は不変）
すべての中性子が $^{4} He$ に入るとして $Y_{p} = 2 X_{n} = \frac{2 ( n / p )}{1 + n / p}$ を計算する

例題

ビッグバン元素合成で、弱い相互作用の凍結時に中性子と陽子の個数比が $n / p = \frac{1}{6}$ になったとする。その後、元素合成が始まるまでの間に中性子の崩壊によって、中性子の個数が凍結時の $\frac{7}{8}$ 倍に減った（崩壊した中性子はすべて陽子になる）。元素合成が始まった時点のすべての中性子が $^{4} He$ に取り込まれ、核子の質量はすべて等しく結合エネルギーは無視できるとして、ヘリウムの質量比 $Y_{p}$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】凍結時の比は問題で与えられているので $T_{f}$ を求める必要はない。

【手順 2】凍結時の中性子の割合は $X_{n} = \frac{n / p}{1 + n / p} = \frac{1/6}{7/6} = \frac{1}{7}$ 。

【手順 3】中性子の個数は $\frac{7}{8}$ 倍になり、核子の総数は変わらないので、 $X_{n} = \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$ 。このとき $n / p = \frac{1/8}{7/8} = \frac{1}{7}$ 。

【手順 4】 $Y_{p} = 2 X_{n} = \frac{2 ( n / p )}{1 + n / p} = \frac{2/7}{8/7} = \frac{1}{4}$ 。

答え: $\frac{1}{4}$

よくある誤り

中性子の崩壊を $n / p$ そのものに崩壊因子を掛けて $n / p \to \frac{1}{6} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{48}$ としてしまう誤り。崩壊した中性子は陽子になるので陽子も増える。正しくは割合 $X_{n} = \frac{n}{n + p}$ に因子を掛けて $X_{n} = \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$ 、 $n / p = \frac{1}{7}$ 。
ヘリウムの質量比を $Y_{p} = \frac{n / p}{1 + n / p}$ （中性子の割合そのもの）としてしまう誤り。 $^{4} He$ 1 個には中性子 2 個とともに陽子 2 個も入るので、質量は中性子の 2 倍分になり $Y_{p} = \frac{2 ( n / p )}{1 + n / p} = 2 X_{n}$ 。
平衡の比を $n / p = e^{+ Q / T}$ や $e^{- T / Q}$ としてしまう誤り。中性子の方が $Q = m_{n} - m_{p} > 0$ だけ重いので、正しくは $n / p = e^{- Q / T} < 1$ で、低温ほど小さくなる。
凍結を反応率が 0 になる時と考え、 $Γ$ と $H$ を比べずに元素合成の温度 $T \approx 0.07 MeV$ で $n / p = e^{- Q / T}$ を計算してしまう誤り（ $e^{- 1.29/0.07} \sim 1 0^{- 8}$ となりヘリウムがほとんどできない）。正しくは $Γ (T_{f}) = H (T_{f})$ で決まる $T_{f} \approx 0.7$ 〜 $0.8 MeV$ で凍結して $n / p \approx \frac{1}{5}$ 〜 $\frac{1}{6}$ となり、その後は崩壊だけで減る。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
自然単位系 $k_{B} = 1$ を用いる。初期宇宙で、中性子と陽子は弱い相互作用により熱平衡にあり、その数の比は $\frac{n}{p} = e^{- Q / T}$ （ $Q$ は中性子と陽子の質量差）に従っていた。温度が $T_{f}$ まで下がるとこの反応が凍結し、そのとき $\frac{Q}{T _{f}} = lo g 6$ であったとする。
凍結後、元素合成が始まるまでに、凍結時に存在した中性子の $\frac{1}{4}$ が $β$ 崩壊して陽子に変わった。元素合成が始まると、残っていたすべての中性子が $^{4} He$ に取り込まれ、ほかの原子核はできないとする。中性子と陽子の質量は等しいとみなし、 $^{4} He$ の質量は核子 4 個の質量の和に等しいとみなす。バリオンの全質量に対する $^{4} He$ の質量の割合 $Y_{p}$ を既約分数で求めよ。