宇宙論

光速を $c=1$ とする単位系を用いる。空間的に平坦な一様等方宇宙が、状態方程式 $p=\rho$（$w=1$、いわゆる硬い物質）に従う 1 成分の完全流体だけで支配されているとする。スケール因子 $a(t)$ はフリードマン方程式
$${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
と連続の式
$$\dot{\rho }+3\frac{\dot{a}}{a}(\rho +p)=0$$
に従う（$G$ は万有引力定数、$\dot{}$ は宇宙時間 $t$ による微分）。宇宙は膨張しており（$\dot{a}>0$）、$t=0$ で $a=0$ とする。このとき $a(t)\propto t^n$ となる。指数 $n$ を求めよ。

空間的に平坦で、非相対論的物質だけを含む宇宙（アインシュタイン・ド・ジッター宇宙）を考える。ハッブル・パラメータは赤方偏移 $z$ の関数として
$$H(z)=H_0(1+z{)}^{3/2}$$
で与えられる（$H_0>0$ は現在のハッブル定数、$c$ は光速）。共動距離を $\chi (z)={\int }_0^z\frac{cd{z}^{\prime }}{H(z^{\prime })}$、光度距離を $d_L=(1+z)\chi (z)$ で定義する。赤方偏移 $z=3$ の天体までの光度距離 $d_L$ を $c$ と $H_0$ を用いて表せ。

自然単位系 $\hslash =c=k_B=1$ を用いる。初期宇宙のある時期に、温度 $T$ の熱平衡にある熱浴が次の相対論的粒子（質量は $T$ に比べて無視できる）だけを含んでいるとする。すべての粒子は同じ温度 $T$ をもち、化学ポテンシャルは $0$ とする。

• 光子（ボース粒子、内部自由度 $2$）
• 電子と陽電子（フェルミ粒子、合わせて内部自由度 $4$）
• 3 世代のニュートリノと反ニュートリノ（フェルミ粒子、合わせて内部自由度 $6$）
• 仮想的な中性の実スカラー粒子 1 種（ボース粒子、内部自由度 $1$）

放射のエネルギー密度が $\rho =\frac{{\pi }^2}{30}{g}_{\ast }{T}^4$ と書けるとき、有効な相対論的自由度 $g_{\ast }$ を既約分数で求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用い、換算プランク質量を $M_{\mathrm{Pl}}$ とする。インフラトン場 $\varphi$ のポテンシャルが
$$V(\varphi )=\frac{\lambda }{4}{\varphi }^4(\lambda >0)$$
で与えられ、場は $\varphi >0$ の領域を $\varphi$ が減少する向きにスローロールするとする。スローロール・パラメータを ${ϵ}_V=\frac{M_{\mathrm{Pl}}^2}{2}{\left(\frac{V^{\prime }}{V}\right)}^2$ とし、インフレーションは ${ϵ}_V=1$ となる場の値 ${\varphi }_{\mathrm{end}}$ で終わるとする。インフレーションの終わりから数えた e-folding 数を
$$N=\frac{1}{M_{\mathrm{Pl}}^2}{\int }_{{\varphi }_{\mathrm{end}}}^{{\varphi }_{\ast }}\frac{V}{V^{\prime }}d\varphi$$
で定義する（${}^{\prime }$ は $\varphi$ による微分）。$N=60$ となる場の値 ${\varphi }_{\ast }$ について、比 $\frac{{\varphi }_{\ast }}{M_{\mathrm{Pl}}}$ を根号を用いた正確な値で求めよ。

空間的に平坦で、非相対論的物質だけを含む宇宙（${\Omega }_m=1$, ${\Omega }_r={\Omega }_{\Lambda }=0$）を考える。現在のスケール因子を $a=1$、現在のハッブル定数を $H_0>0$ とすると、ハッブル・パラメータは
$$H(a)=H_0{a}^{-3/2}$$
で与えられる。ビッグバン（$a=0$）からスケール因子が $a$ になるまでの時間は $t(a)={\int }_0^a\frac{d{a}^{\prime }}{a^{\prime }H(a^{\prime })}$ で与えられる。赤方偏移 $z=3$ の時刻、すなわち $1+z=\frac{1}{a}$ を満たすスケール因子に達するまでの時間 $t$ を $H_0$ を用いて表せ。

自然単位系 $\hslash =c=k_B=1$ を用いる。初期宇宙に、質量 $0$ の仮想的な実スカラー粒子 $\phi$（ボース粒子、内部自由度 $1$、化学ポテンシャル $0$）があったとする。

$\phi$ ははじめ熱浴と熱平衡にあったが、温度 $T_d$ で熱浴から脱結合した。脱結合の直後、$\phi$ を除いた熱浴の有効エントロピー自由度は $g_{\ast s}=86$ であった。その後、熱浴は熱平衡を保ちながら膨張し、粒子の対消滅などで $g_{\ast s}$ が減っていき、ニュートリノが脱結合する時点では、熱浴は光子・電子と陽電子・3 世代のニュートリノと反ニュートリノだけからなり $g_{\ast s}=\frac{43}{4}$ であった。この時点でのニュートリノの温度は熱浴の温度に等しい。

脱結合した $\phi$ とニュートリノは、どちらもその後ほかの粒子と相互作用せず、温度はスケール因子 $a$ に対して $T\propto a^{-1}$ に従う。熱浴の共動エントロピー $s{a}^3$（$s=\frac{2{\pi }^2}{45}{g}_{\ast s}{T}^3$）は保存するとする。

相対論的な粒子のエネルギー密度は $\rho =\frac{{\pi }^2}{30}g{T}^4$ で、フェルミ粒子では内部自由度に $\frac{7}{8}$ をかける。ニュートリノ 1 世代（ニュートリノと反ニュートリノを合わせて内部自由度 $2$ のフェルミ粒子）のエネルギー密度を ${\rho }_{\nu ,1}$ として、ニュートリノ脱結合より後の時刻における比
$$\Delta N_{\mathrm{eff}}=\frac{{\rho }_{\phi }}{{\rho }_{\nu ,1}}$$
を既約分数で求めよ。

自然単位系 $k_B=1$ を用いる。初期宇宙で、中性子と陽子は弱い相互作用により熱平衡にあり、その数の比は $\frac{n}{p}=e^{-Q/T}$（$Q$ は中性子と陽子の質量差）に従っていた。温度が $T_f$ まで下がるとこの反応が凍結し、そのとき $\frac{Q}{T_f}=\log 6$ であったとする。

凍結後、元素合成が始まるまでに、凍結時に存在した中性子の $\frac{1}{4}$ が $\beta$ 崩壊して陽子に変わった。元素合成が始まると、残っていたすべての中性子が ${}^4\mathrm{He}$ に取り込まれ、ほかの原子核はできないとする。中性子と陽子の質量は等しいとみなし、${}^4\mathrm{He}$ の質量は核子 4 個の質量の和に等しいとみなす。バリオンの全質量に対する ${}^4\mathrm{He}$ の質量の割合 $Y_p$ を既約分数で求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用い、換算プランク質量を $M_{\mathrm{Pl}}$ とする。インフラトン場 $\varphi$ のポテンシャルが
$$V(\varphi )=\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2(m>0)$$
で与えられ、場は $\varphi >0$ の領域を $\varphi$ が減少する向きにスローロールするとする。スローロール・パラメータを
$${ϵ}_V=\frac{M_{\mathrm{Pl}}^2}{2}{\left(\frac{V^{\prime }}{V}\right)}^2,{\eta }_V=M_{\mathrm{Pl}}^2\frac{V^{\prime \prime }}{V}$$
とし（${}^{\prime }$ は $\varphi$ による微分）、インフレーションは ${ϵ}_V=1$ となる場の値 ${\varphi }_{\mathrm{end}}$ で終わるとする。観測されるスケールがホライズンを出たときの場の値 ${\varphi }_{\ast }$ は、e-folding 数
$$N=\frac{1}{M_{\mathrm{Pl}}^2}{\int }_{{\varphi }_{\mathrm{end}}}^{{\varphi }_{\ast }}\frac{V}{V^{\prime }}d\varphi$$
が $N=60$ となる値とする。スローロールの 1 次近似 $n_s=1-6{ϵ}_V+2{\eta }_V$、$r=16{ϵ}_V$ を $\varphi ={\varphi }_{\ast }$ で評価したとき、スカラー・スペクトル指数 $n_s$ とテンソル・スカラー比 $r$ の組 $(n_s,r)$ をこの順に既約分数で求めよ。

空間的に平坦で、圧力のない物質だけを含む宇宙（アインシュタイン–ド・ジッター宇宙）を考える。スケール因子は $a(t)\propto t^{2/3}$（$t>0$ は宇宙時間）で、ハッブル・パラメータ $H=\dot{a}/a$ と平均密度 $\bar{\rho }$ はフリードマン方程式 $H^2=\frac{8\pi G}{3}\bar{\rho }$ を満たす（$G$ は万有引力定数）。

ホライズンより十分小さいスケールの物質の密度ゆらぎ $\delta (t)$ は、圧力を無視した線形の方程式
$$\ddot{\delta }+2H\dot{\delta }=4\pi G\bar{\rho }\delta$$
に従う。この方程式が $\delta \propto t^n$ の形の解をもつような指数 $n$ をすべて求め、集合として答えよ。

空間的に平坦で、非相対論的物質が支配する宇宙（アインシュタイン–ド・ジッター宇宙）を考える。スケール因子は $a(t)\propto t^{2/3}$（$t>0$）、ハッブル・パラメータは $H=\dot{a}/a$、平均密度 $\bar{\rho }$ は $H^2=\frac{8\pi G}{3}\bar{\rho }$ を満たす（$G$ は万有引力定数）。

物質は小さな圧力をもち、その音速 $c_s$ は $a^{-1/2}$ に比例して変化するとする。共動波数 $k$ の密度ゆらぎ ${\delta }_k(t)$ は線形の方程式
$${\ddot{\delta }}_k+2H{\dot{\delta }}_k=\left(4\pi G\bar{\rho }-\frac{c_s^2{k}^2}{a^2}\right){\delta }_k$$
に従い、ジーンズ波数を $k_J=\frac{a\sqrt{4\pi G\bar{\rho }}}{c_s}$ で定義する。このとき $k_J$ は時間によらない定数になる。

$k=\frac{k_J}{2}$ のゆらぎについて、方程式が ${\delta }_k\propto t^n$ の形の解をもつような実数 $n$ のうち、大きいほう（成長モードの指数）を求めよ。

平坦なアインシュタイン–ド・ジッター宇宙（物質のみで宇宙の膨張が決まる宇宙）を考える。スケール因子は $a\propto t^{2/3}$、ハッブル・パラメータは $H=\dot{a}/a$、背景の物質密度を $\bar{\rho }$ とする。この物質は圧力をもつ完全流体とし、圧力は膨張に影響しないほど小さい（$p\ll \bar{\rho }{c}^2$）とする。共動波数 $k$ の密度ゆらぎ ${\delta }_k(t)$ は、線形近似・ニュートン近似（ホライズンより十分小さいスケール）の範囲で
$${\ddot{\delta }}_k+2H{\dot{\delta }}_k=\left(4\pi G\bar{\rho }-\frac{c_s^2{k}^2}{a^2}\right){\delta }_k$$
に従うとする。ここで $c_s$ は音速で、断熱的に $c_s^2\propto a^{-1}$ と変化するものとする。共動ジーンズ波数を
$$k_J\equiv \frac{a\sqrt{4\pi G\bar{\rho }}}{c_s}$$
で定義する。$0<k<k_J$ のとき、成長モードは ${\delta }_k\propto a^m$ と表される。指数 $m$ を $k$ と $k_J$ を用いて表せ。

空間的に平坦な FLRW 宇宙 $d{s}^2=d{t}^2-a(t{)}^2\left(d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2\right)$（計量の符号は $(+,-,-,-)$、$c=1$）を考える。宇宙を満たす成分は放射（エネルギー密度 ${\rho }_r\propto a^{-4}$）と非相対論的物質（${\rho }_m\propto a^{-3}$）の 2 つだけとする。宇宙項と空間曲率は $0$ とし、$t=0$ で $a=0$ とする。${\rho }_r={\rho }_m$ となるときのスケール因子を $a_{\mathrm{eq}}$ とする。

スケール因子の局所的なべき指数を
$$n(t)\equiv \frac{d\log a}{d\log t}$$
で定義する。放射優勢期では $n\to 1/2$、物質優勢期では $n\to 2/3$ となる。$n(t)=\frac{3}{5}$ となる時刻はただ 1 つである。この時刻における $a/a_{\mathrm{eq}}$ の値を、根号を用いた正確な形で求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=k_B=1$ を用いる。標準模型に、質量が無視できる実スカラー場 $\varphi$（内部自由度 $1$）を加えた初期宇宙を考える。$\varphi$ は高温で標準模型の熱浴と熱平衡にあったが、温度 $T_d$ で瞬間的に脱結合し、その後はどの粒子とも相互作用せず、質量ゼロの粒子として自由に膨張するものとする。$T_d$ において、$\varphi$ を除いた熱浴のエントロピーの有効自由度は $g_{\ast s}(T_d)=\frac{427}{4}$ である。

その後、熱浴は断熱的に膨張する。温度 $T\simeq 1\mathrm{MeV}$ では、熱浴に含まれる相対論的粒子は光子、電子・陽電子、および3世代のニュートリノ・反ニュートリノ（各世代とも左巻きニュートリノと右巻き反ニュートリノのみ）だけである。この温度でニュートリノが瞬間的に脱結合し、その後に電子・陽電子対消滅が起こって、そのエントロピーはすべて光子に移るとする。各粒子はボース分布・フェルミ分布の相対論的極限に従い、化学ポテンシャルは無視する。

現在（電子・陽電子が消滅し尽くした後）の放射のエネルギー密度を
$${\rho }_{\mathrm{rad}}={\rho }_{\gamma }\left[1+\frac{7}{8}{\left(\frac{4}{11}\right)}^{4/3}{N}_{\mathrm{eff}}\right]$$
と書くとき、$\varphi$ による寄与 $\Delta N_{\mathrm{eff}}$（すなわち ${\rho }_{\varphi }$ を上式の $N_{\mathrm{eff}}$ の項として表したときの係数）を、分数と累乗を用いた厳密な形で求めよ。

空間的に平坦な一様等方宇宙を考える。計量の符号は $(-,+,+,+)$ とし、計量を
$$d{s}^2=-c^{2}d{t}^2+a(t{)}^2\left(d{\chi }^2+{\chi }^{2}d{\Omega }^2\right)$$
と書く。$a(t)$ はスケール因子で、現在時刻 $t_0$ で $a(t_0)=1$ と規格化する。$c$ は光速である。

宇宙の中身は、状態方程式 $p=w\rho c^2$（$w$ は定数で $w>-\frac{1}{3}$）に従う完全流体 1 成分だけとする。宇宙定数はなく、空間曲率は $0$ とする。現在のハッブル定数を $H_0$ とする。

赤方偏移 $z$ の天体の角径距離 $d_A(z)$ は、赤方偏移の増加とともに増えたのち減少に転じる。$d_A(z)$ が最大になる赤方偏移 $z_{\ast }$ を $w$ の式で求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$ をとり、換算プランク質量を $M_{\mathrm{Pl}}$ とする。平坦な FLRW 宇宙で、単一のスカラー場（インフラトン）$\varphi$ がポテンシャル
$$V(\varphi )={\mu }^{10/3}{\varphi }^{2/3}(\varphi >0,\mu >0\text{は定数})$$
の上をスローロールで転がり落ちてインフレーションを起こすとする。スローロール・パラメータを
$${ϵ}_V=\frac{M_{\mathrm{Pl}}^2}{2}{\left(\frac{V^{\prime }}{V}\right)}^2,{\eta }_V=M_{\mathrm{Pl}}^2\frac{V^{\prime \prime }}{V}$$
で定義し（${}^{\prime }$ は $\varphi$ による微分）、インフレーションは ${ϵ}_V=1$ となる場の値 ${\varphi }_{\mathrm{end}}$ で終わるとする。観測されるスケールがハッブル半径を横切ったときの場の値 ${\varphi }_{\ast }$ は、そこからインフレーション終了までの e-folding 数
$$N=\frac{1}{M_{\mathrm{Pl}}^2}{\int }_{{\varphi }_{\mathrm{end}}}^{{\varphi }_{\ast }}\frac{V}{V^{\prime }}d\varphi$$
が $N=60$ となる値で定める。スカラー（曲率）ゆらぎのスペクトル指数をスローロールの 1 次近似 $n_s=1-6{ϵ}_V+2{\eta }_V$（$\varphi ={\varphi }_{\ast }$ で評価）で計算するとき、$n_s$ の値を既約分数で求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=k_B=1$ を用いる。標準的な宇宙の熱史に、仮想的なディラック・フェルミオン $\chi$（粒子と反粒子、それぞれスピン自由度 2、合計の内部自由度 $g_{\chi }=4$、質量 $m_{\chi }$）を付け加えた模型を考える。$\chi$ は電磁相互作用をもち、光子・電子・陽電子とは熱平衡にあるが、ニュートリノとは直接相互作用しないとする。

3 世代のニュートリノ（質量は無視し、各世代とも粒子と反粒子それぞれ 1 つのヘリシティ状態のみをもつ）は、温度 $T_d$ で瞬間的に脱結合するとする。$T_d$ において ${\chi }^{\pm }$（$\chi ,\bar{\chi }$）と $e^{\pm }$ はともに相対論的（$m_{\chi },m_e\ll T_d$）であり、その後、宇宙の膨張にともなって $\chi \bar{\chi }$ と $e^{+}{e}^{-}$ はいずれも完全に対消滅して、そのエネルギーとエントロピーはすべて光子に渡されるとする。対消滅は熱平衡を保ちながら進み（エントロピーは保存する）、ニュートリノには一切エネルギーが渡らないとする。化学ポテンシャルはすべて無視する。

十分後の時期（$T_{\gamma }\ll m_e$）において、光子温度を $T_{\gamma }$、ニュートリノ温度を $T_{\nu }$ とし、有効ニュートリノ数 $N_{\mathrm{eff}}$ を
$${\rho }_{\mathrm{rad}}={\rho }_{\gamma }\left[1+\frac{7}{8}{\left(\frac{4}{11}\right)}^{4/3}{N}_{\mathrm{eff}}\right]$$
で定義する（${\rho }_{\mathrm{rad}}$ は光子とニュートリノのエネルギー密度の和、${\rho }_{\gamma }$ は光子のエネルギー密度）。この模型における $N_{\mathrm{eff}}$ を正確な形（累乗を含む式）で求めよ。

空間的に平坦で、非相対論的な一様気体だけが宇宙のエネルギー密度を担う宇宙（アインシュタイン–ド・ジッター宇宙）を考える。背景のスケール因子は $a\propto t^{2/3}$、ハッブルパラメータは $H=\dot{a}/a=2/(3t)$ である。背景の膨張に対して気体の圧力は無視できるが、ゆらぎに対しては圧力が効くものとする。

気体の温度は外部（背景放射との強い熱的結合）によって $T\propto a^{-1}$ に保たれている。そのため気体は等温的にふるまい、圧力ゆらぎと密度ゆらぎは $\delta p=c_s^2\delta \rho$ で結ばれる。ここで音速は $c_s^2\propto T\propto a^{-1}$ である。

ホライズンより十分小さいスケールで、ニュートン近似の線形摂動論を用いる。共動波数 $k$ のフーリエモードの密度コントラストを ${\delta }_k(t)=\delta {\rho }_k/\bar{\rho }$ とする。$G$ を重力定数、$\bar{\rho }$ を背景密度として、共動ジーンズ波数 $k_J$ を
$$k_J^2=\frac{4\pi G\bar{\rho }{a}^2}{c_s^2}$$
で定義する（この模型では $k_J$ は時間によらない定数になる）。

$0<k<k_J$ のモードの成長モードは ${\delta }_k\propto a^p$ の形のべき則に従う。指数 $p$ を $k$ と $k_J$ を用いて表せ。