宇宙論の問題

平坦なアインシュタイン–ド・ジッター宇宙（物質のみで宇宙の膨張が決まる宇宙）を考える。スケール因子は $a\propto t^{2/3}$、ハッブル・パラメータは $H=\dot{a}/a$、背景の物質密度を $\bar{\rho }$ とする。この物質は圧力をもつ完全流体とし、圧力は膨張に影響しないほど小さい（$p\ll \bar{\rho }{c}^2$）とする。共動波数 $k$ の密度ゆらぎ ${\delta }_k(t)$ は、線形近似・ニュートン近似（ホライズンより十分小さいスケール）の範囲で
$${\ddot{\delta }}_k+2H{\dot{\delta }}_k=\left(4\pi G\bar{\rho }-\frac{c_s^2{k}^2}{a^2}\right){\delta }_k$$
に従うとする。ここで $c_s$ は音速で、断熱的に $c_s^2\propto a^{-1}$ と変化するものとする。共動ジーンズ波数を
$$k_J\equiv \frac{a\sqrt{4\pi G\bar{\rho }}}{c_s}$$
で定義する。$0<k<k_J$ のとき、成長モードは ${\delta }_k\propto a^m$ と表される。指数 $m$ を $k$ と $k_J$ を用いて表せ。

空間的に平坦な一様等方宇宙を考える。計量の符号は $(-,+,+,+)$ とし、計量を
$$d{s}^2=-c^{2}d{t}^2+a(t{)}^2\left(d{\chi }^2+{\chi }^{2}d{\Omega }^2\right)$$
と書く。$a(t)$ はスケール因子で、現在時刻 $t_0$ で $a(t_0)=1$ と規格化する。$c$ は光速である。

宇宙の中身は、状態方程式 $p=w\rho c^2$（$w$ は定数で $w>-\frac{1}{3}$）に従う完全流体 1 成分だけとする。宇宙定数はなく、空間曲率は $0$ とする。現在のハッブル定数を $H_0$ とする。

赤方偏移 $z$ の天体の角径距離 $d_A(z)$ は、赤方偏移の増加とともに増えたのち減少に転じる。$d_A(z)$ が最大になる赤方偏移 $z_{\ast }$ を $w$ の式で求めよ。

空間的に平坦で、非相対論的物質だけを含む宇宙（${\Omega }_m=1$, ${\Omega }_r={\Omega }_{\Lambda }=0$）を考える。現在のスケール因子を $a=1$、現在のハッブル定数を $H_0>0$ とすると、ハッブル・パラメータは
$$H(a)=H_0{a}^{-3/2}$$
で与えられる。ビッグバン（$a=0$）からスケール因子が $a$ になるまでの時間は $t(a)={\int }_0^a\frac{d{a}^{\prime }}{a^{\prime }H(a^{\prime })}$ で与えられる。赤方偏移 $z=3$ の時刻、すなわち $1+z=\frac{1}{a}$ を満たすスケール因子に達するまでの時間 $t$ を $H_0$ を用いて表せ。

光速を $c=1$ とする単位系を用いる。空間的に平坦な一様等方宇宙が、状態方程式 $p=\rho$（$w=1$、いわゆる硬い物質）に従う 1 成分の完全流体だけで支配されているとする。スケール因子 $a(t)$ はフリードマン方程式
$${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
と連続の式
$$\dot{\rho }+3\frac{\dot{a}}{a}(\rho +p)=0$$
に従う（$G$ は万有引力定数、$\dot{}$ は宇宙時間 $t$ による微分）。宇宙は膨張しており（$\dot{a}>0$）、$t=0$ で $a=0$ とする。このとき $a(t)\propto t^n$ となる。指数 $n$ を求めよ。

空間的に平坦で、非相対論的物質が支配する宇宙（アインシュタイン–ド・ジッター宇宙）を考える。スケール因子は $a(t)\propto t^{2/3}$（$t>0$）、ハッブル・パラメータは $H=\dot{a}/a$、平均密度 $\bar{\rho }$ は $H^2=\frac{8\pi G}{3}\bar{\rho }$ を満たす（$G$ は万有引力定数）。

物質は小さな圧力をもち、その音速 $c_s$ は $a^{-1/2}$ に比例して変化するとする。共動波数 $k$ の密度ゆらぎ ${\delta }_k(t)$ は線形の方程式
$${\ddot{\delta }}_k+2H{\dot{\delta }}_k=\left(4\pi G\bar{\rho }-\frac{c_s^2{k}^2}{a^2}\right){\delta }_k$$
に従い、ジーンズ波数を $k_J=\frac{a\sqrt{4\pi G\bar{\rho }}}{c_s}$ で定義する。このとき $k_J$ は時間によらない定数になる。

$k=\frac{k_J}{2}$ のゆらぎについて、方程式が ${\delta }_k\propto t^n$ の形の解をもつような実数 $n$ のうち、大きいほう（成長モードの指数）を求めよ。