宇宙論の問題

空間的に平坦な FLRW 宇宙 $d{s}^2=d{t}^2-a(t{)}^2\left(d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2\right)$（計量の符号は $(+,-,-,-)$、$c=1$）を考える。宇宙を満たす成分は放射（エネルギー密度 ${\rho }_r\propto a^{-4}$）と非相対論的物質（${\rho }_m\propto a^{-3}$）の 2 つだけとする。宇宙項と空間曲率は $0$ とし、$t=0$ で $a=0$ とする。${\rho }_r={\rho }_m$ となるときのスケール因子を $a_{\mathrm{eq}}$ とする。

スケール因子の局所的なべき指数を
$$n(t)\equiv \frac{d\log a}{d\log t}$$
で定義する。放射優勢期では $n\to 1/2$、物質優勢期では $n\to 2/3$ となる。$n(t)=\frac{3}{5}$ となる時刻はただ 1 つである。この時刻における $a/a_{\mathrm{eq}}$ の値を、根号を用いた正確な形で求めよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$ をとり、換算プランク質量を $M_{\mathrm{Pl}}$ とする。平坦な FLRW 宇宙で、単一のスカラー場（インフラトン）$\varphi$ がポテンシャル
$$V(\varphi )={\mu }^{10/3}{\varphi }^{2/3}(\varphi >0,\mu >0\text{は定数})$$
の上をスローロールで転がり落ちてインフレーションを起こすとする。スローロール・パラメータを
$${ϵ}_V=\frac{M_{\mathrm{Pl}}^2}{2}{\left(\frac{V^{\prime }}{V}\right)}^2,{\eta }_V=M_{\mathrm{Pl}}^2\frac{V^{\prime \prime }}{V}$$
で定義し（${}^{\prime }$ は $\varphi$ による微分）、インフレーションは ${ϵ}_V=1$ となる場の値 ${\varphi }_{\mathrm{end}}$ で終わるとする。観測されるスケールがハッブル半径を横切ったときの場の値 ${\varphi }_{\ast }$ は、そこからインフレーション終了までの e-folding 数
$$N=\frac{1}{M_{\mathrm{Pl}}^2}{\int }_{{\varphi }_{\mathrm{end}}}^{{\varphi }_{\ast }}\frac{V}{V^{\prime }}d\varphi$$
が $N=60$ となる値で定める。スカラー（曲率）ゆらぎのスペクトル指数をスローロールの 1 次近似 $n_s=1-6{ϵ}_V+2{\eta }_V$（$\varphi ={\varphi }_{\ast }$ で評価）で計算するとき、$n_s$ の値を既約分数で求めよ。

光速を $c=1$ とする単位系を用いる。空間的に平坦な一様等方宇宙が、状態方程式 $p=\rho$（$w=1$、いわゆる硬い物質）に従う 1 成分の完全流体だけで支配されているとする。スケール因子 $a(t)$ はフリードマン方程式
$${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
と連続の式
$$\dot{\rho }+3\frac{\dot{a}}{a}(\rho +p)=0$$
に従う（$G$ は万有引力定数、$\dot{}$ は宇宙時間 $t$ による微分）。宇宙は膨張しており（$\dot{a}>0$）、$t=0$ で $a=0$ とする。このとき $a(t)\propto t^n$ となる。指数 $n$ を求めよ。

空間的に平坦で、非相対論的な一様気体だけが宇宙のエネルギー密度を担う宇宙（アインシュタイン–ド・ジッター宇宙）を考える。背景のスケール因子は $a\propto t^{2/3}$、ハッブルパラメータは $H=\dot{a}/a=2/(3t)$ である。背景の膨張に対して気体の圧力は無視できるが、ゆらぎに対しては圧力が効くものとする。

気体の温度は外部（背景放射との強い熱的結合）によって $T\propto a^{-1}$ に保たれている。そのため気体は等温的にふるまい、圧力ゆらぎと密度ゆらぎは $\delta p=c_s^2\delta \rho$ で結ばれる。ここで音速は $c_s^2\propto T\propto a^{-1}$ である。

ホライズンより十分小さいスケールで、ニュートン近似の線形摂動論を用いる。共動波数 $k$ のフーリエモードの密度コントラストを ${\delta }_k(t)=\delta {\rho }_k/\bar{\rho }$ とする。$G$ を重力定数、$\bar{\rho }$ を背景密度として、共動ジーンズ波数 $k_J$ を
$$k_J^2=\frac{4\pi G\bar{\rho }{a}^2}{c_s^2}$$
で定義する（この模型では $k_J$ は時間によらない定数になる）。

$0<k<k_J$ のモードの成長モードは ${\delta }_k\propto a^p$ の形のべき則に従う。指数 $p$ を $k$ と $k_J$ を用いて表せ。

自然単位系 $\hslash =c=k_B=1$ を用いる。標準的な宇宙の熱史に、仮想的なディラック・フェルミオン $\chi$（粒子と反粒子、それぞれスピン自由度 2、合計の内部自由度 $g_{\chi }=4$、質量 $m_{\chi }$）を付け加えた模型を考える。$\chi$ は電磁相互作用をもち、光子・電子・陽電子とは熱平衡にあるが、ニュートリノとは直接相互作用しないとする。

3 世代のニュートリノ（質量は無視し、各世代とも粒子と反粒子それぞれ 1 つのヘリシティ状態のみをもつ）は、温度 $T_d$ で瞬間的に脱結合するとする。$T_d$ において ${\chi }^{\pm }$（$\chi ,\bar{\chi }$）と $e^{\pm }$ はともに相対論的（$m_{\chi },m_e\ll T_d$）であり、その後、宇宙の膨張にともなって $\chi \bar{\chi }$ と $e^{+}{e}^{-}$ はいずれも完全に対消滅して、そのエネルギーとエントロピーはすべて光子に渡されるとする。対消滅は熱平衡を保ちながら進み（エントロピーは保存する）、ニュートリノには一切エネルギーが渡らないとする。化学ポテンシャルはすべて無視する。

十分後の時期（$T_{\gamma }\ll m_e$）において、光子温度を $T_{\gamma }$、ニュートリノ温度を $T_{\nu }$ とし、有効ニュートリノ数 $N_{\mathrm{eff}}$ を
$${\rho }_{\mathrm{rad}}={\rho }_{\gamma }\left[1+\frac{7}{8}{\left(\frac{4}{11}\right)}^{4/3}{N}_{\mathrm{eff}}\right]$$
で定義する（${\rho }_{\mathrm{rad}}$ は光子とニュートリノのエネルギー密度の和、${\rho }_{\gamma }$ は光子のエネルギー密度）。この模型における $N_{\mathrm{eff}}$ を正確な形（累乗を含む式）で求めよ。