宇宙論の問題

空間的に平坦で、非相対論的物質が支配する宇宙（アインシュタイン–ド・ジッター宇宙）を考える。スケール因子は $a(t)\propto t^{2/3}$（$t>0$）、ハッブル・パラメータは $H=\dot{a}/a$、平均密度 $\bar{\rho }$ は $H^2=\frac{8\pi G}{3}\bar{\rho }$ を満たす（$G$ は万有引力定数）。

物質は小さな圧力をもち、その音速 $c_s$ は $a^{-1/2}$ に比例して変化するとする。共動波数 $k$ の密度ゆらぎ ${\delta }_k(t)$ は線形の方程式
$${\ddot{\delta }}_k+2H{\dot{\delta }}_k=\left(4\pi G\bar{\rho }-\frac{c_s^2{k}^2}{a^2}\right){\delta }_k$$
に従い、ジーンズ波数を $k_J=\frac{a\sqrt{4\pi G\bar{\rho }}}{c_s}$ で定義する。このとき $k_J$ は時間によらない定数になる。

$k=\frac{k_J}{2}$ のゆらぎについて、方程式が ${\delta }_k\propto t^n$ の形の解をもつような実数 $n$ のうち、大きいほう（成長モードの指数）を求めよ。

空間的に平坦で、圧力のない物質だけを含む宇宙（アインシュタイン–ド・ジッター宇宙）を考える。スケール因子は $a(t)\propto t^{2/3}$（$t>0$ は宇宙時間）で、ハッブル・パラメータ $H=\dot{a}/a$ と平均密度 $\bar{\rho }$ はフリードマン方程式 $H^2=\frac{8\pi G}{3}\bar{\rho }$ を満たす（$G$ は万有引力定数）。

ホライズンより十分小さいスケールの物質の密度ゆらぎ $\delta (t)$ は、圧力を無視した線形の方程式
$$\ddot{\delta }+2H\dot{\delta }=4\pi G\bar{\rho }\delta$$
に従う。この方程式が $\delta \propto t^n$ の形の解をもつような指数 $n$ をすべて求め、集合として答えよ。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用い、換算プランク質量を $M_{\mathrm{Pl}}$ とする。インフラトン場 $\varphi$ のポテンシャルが
$$V(\varphi )=\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2(m>0)$$
で与えられ、場は $\varphi >0$ の領域を $\varphi$ が減少する向きにスローロールするとする。スローロール・パラメータを
$${ϵ}_V=\frac{M_{\mathrm{Pl}}^2}{2}{\left(\frac{V^{\prime }}{V}\right)}^2,{\eta }_V=M_{\mathrm{Pl}}^2\frac{V^{\prime \prime }}{V}$$
とし（${}^{\prime }$ は $\varphi$ による微分）、インフレーションは ${ϵ}_V=1$ となる場の値 ${\varphi }_{\mathrm{end}}$ で終わるとする。観測されるスケールがホライズンを出たときの場の値 ${\varphi }_{\ast }$ は、e-folding 数
$$N=\frac{1}{M_{\mathrm{Pl}}^2}{\int }_{{\varphi }_{\mathrm{end}}}^{{\varphi }_{\ast }}\frac{V}{V^{\prime }}d\varphi$$
が $N=60$ となる値とする。スローロールの 1 次近似 $n_s=1-6{ϵ}_V+2{\eta }_V$、$r=16{ϵ}_V$ を $\varphi ={\varphi }_{\ast }$ で評価したとき、スカラー・スペクトル指数 $n_s$ とテンソル・スカラー比 $r$ の組 $(n_s,r)$ をこの順に既約分数で求めよ。

平坦なアインシュタイン–ド・ジッター宇宙（物質のみで宇宙の膨張が決まる宇宙）を考える。スケール因子は $a\propto t^{2/3}$、ハッブル・パラメータは $H=\dot{a}/a$、背景の物質密度を $\bar{\rho }$ とする。この物質は圧力をもつ完全流体とし、圧力は膨張に影響しないほど小さい（$p\ll \bar{\rho }{c}^2$）とする。共動波数 $k$ の密度ゆらぎ ${\delta }_k(t)$ は、線形近似・ニュートン近似（ホライズンより十分小さいスケール）の範囲で
$${\ddot{\delta }}_k+2H{\dot{\delta }}_k=\left(4\pi G\bar{\rho }-\frac{c_s^2{k}^2}{a^2}\right){\delta }_k$$
に従うとする。ここで $c_s$ は音速で、断熱的に $c_s^2\propto a^{-1}$ と変化するものとする。共動ジーンズ波数を
$$k_J\equiv \frac{a\sqrt{4\pi G\bar{\rho }}}{c_s}$$
で定義する。$0<k<k_J$ のとき、成長モードは ${\delta }_k\propto a^m$ と表される。指数 $m$ を $k$ と $k_J$ を用いて表せ。

自然単位系 $\hslash =c=1$ を用い、換算プランク質量を $M_{\mathrm{Pl}}$ とする。インフラトン場 $\varphi$ のポテンシャルが
$$V(\varphi )=\frac{\lambda }{4}{\varphi }^4(\lambda >0)$$
で与えられ、場は $\varphi >0$ の領域を $\varphi$ が減少する向きにスローロールするとする。スローロール・パラメータを ${ϵ}_V=\frac{M_{\mathrm{Pl}}^2}{2}{\left(\frac{V^{\prime }}{V}\right)}^2$ とし、インフレーションは ${ϵ}_V=1$ となる場の値 ${\varphi }_{\mathrm{end}}$ で終わるとする。インフレーションの終わりから数えた e-folding 数を
$$N=\frac{1}{M_{\mathrm{Pl}}^2}{\int }_{{\varphi }_{\mathrm{end}}}^{{\varphi }_{\ast }}\frac{V}{V^{\prime }}d\varphi$$
で定義する（${}^{\prime }$ は $\varphi$ による微分）。$N=60$ となる場の値 ${\varphi }_{\ast }$ について、比 $\frac{{\varphi }_{\ast }}{M_{\mathrm{Pl}}}$ を根号を用いた正確な値で求めよ。