宇宙論の問題

空間的に平坦で、圧力のない物質だけを含む宇宙（アインシュタイン–ド・ジッター宇宙）を考える。スケール因子は $a(t)\propto t^{2/3}$（$t>0$ は宇宙時間）で、ハッブル・パラメータ $H=\dot{a}/a$ と平均密度 $\bar{\rho }$ はフリードマン方程式 $H^2=\frac{8\pi G}{3}\bar{\rho }$ を満たす（$G$ は万有引力定数）。

ホライズンより十分小さいスケールの物質の密度ゆらぎ $\delta (t)$ は、圧力を無視した線形の方程式
$$\ddot{\delta }+2H\dot{\delta }=4\pi G\bar{\rho }\delta$$
に従う。この方程式が $\delta \propto t^n$ の形の解をもつような指数 $n$ をすべて求め、集合として答えよ。

平坦なアインシュタイン–ド・ジッター宇宙（物質のみで宇宙の膨張が決まる宇宙）を考える。スケール因子は $a\propto t^{2/3}$、ハッブル・パラメータは $H=\dot{a}/a$、背景の物質密度を $\bar{\rho }$ とする。この物質は圧力をもつ完全流体とし、圧力は膨張に影響しないほど小さい（$p\ll \bar{\rho }{c}^2$）とする。共動波数 $k$ の密度ゆらぎ ${\delta }_k(t)$ は、線形近似・ニュートン近似（ホライズンより十分小さいスケール）の範囲で
$${\ddot{\delta }}_k+2H{\dot{\delta }}_k=\left(4\pi G\bar{\rho }-\frac{c_s^2{k}^2}{a^2}\right){\delta }_k$$
に従うとする。ここで $c_s$ は音速で、断熱的に $c_s^2\propto a^{-1}$ と変化するものとする。共動ジーンズ波数を
$$k_J\equiv \frac{a\sqrt{4\pi G\bar{\rho }}}{c_s}$$
で定義する。$0<k<k_J$ のとき、成長モードは ${\delta }_k\propto a^m$ と表される。指数 $m$ を $k$ と $k_J$ を用いて表せ。

光速を $c=1$ とする単位系を用いる。空間的に平坦な一様等方宇宙が、状態方程式 $p=\rho$（$w=1$、いわゆる硬い物質）に従う 1 成分の完全流体だけで支配されているとする。スケール因子 $a(t)$ はフリードマン方程式
$${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
と連続の式
$$\dot{\rho }+3\frac{\dot{a}}{a}(\rho +p)=0$$
に従う（$G$ は万有引力定数、$\dot{}$ は宇宙時間 $t$ による微分）。宇宙は膨張しており（$\dot{a}>0$）、$t=0$ で $a=0$ とする。このとき $a(t)\propto t^n$ となる。指数 $n$ を求めよ。

空間的に平坦で、非相対論的な一様気体だけが宇宙のエネルギー密度を担う宇宙（アインシュタイン–ド・ジッター宇宙）を考える。背景のスケール因子は $a\propto t^{2/3}$、ハッブルパラメータは $H=\dot{a}/a=2/(3t)$ である。背景の膨張に対して気体の圧力は無視できるが、ゆらぎに対しては圧力が効くものとする。

気体の温度は外部（背景放射との強い熱的結合）によって $T\propto a^{-1}$ に保たれている。そのため気体は等温的にふるまい、圧力ゆらぎと密度ゆらぎは $\delta p=c_s^2\delta \rho$ で結ばれる。ここで音速は $c_s^2\propto T\propto a^{-1}$ である。

ホライズンより十分小さいスケールで、ニュートン近似の線形摂動論を用いる。共動波数 $k$ のフーリエモードの密度コントラストを ${\delta }_k(t)=\delta {\rho }_k/\bar{\rho }$ とする。$G$ を重力定数、$\bar{\rho }$ を背景密度として、共動ジーンズ波数 $k_J$ を
$$k_J^2=\frac{4\pi G\bar{\rho }{a}^2}{c_s^2}$$
で定義する（この模型では $k_J$ は時間によらない定数になる）。

$0<k<k_J$ のモードの成長モードは ${\delta }_k\propto a^p$ の形のべき則に従う。指数 $p$ を $k$ と $k_J$ を用いて表せ。

空間的に平坦で、非相対論的物質だけを含む宇宙（アインシュタイン・ド・ジッター宇宙）を考える。ハッブル・パラメータは赤方偏移 $z$ の関数として
$$H(z)=H_0(1+z{)}^{3/2}$$
で与えられる（$H_0>0$ は現在のハッブル定数、$c$ は光速）。共動距離を $\chi (z)={\int }_0^z\frac{cd{z}^{\prime }}{H(z^{\prime })}$、光度距離を $d_L=(1+z)\chi (z)$ で定義する。赤方偏移 $z=3$ の天体までの光度距離 $d_L$ を $c$ と $H_0$ を用いて表せ。